Symédiane

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En géométrie, les symédianes d'un triangle désignent des droites particulières de cette figure : ce sont les droites symétriques des médianes par rapport aux bissectrices[1].

Les symédianes (en jaune) sont les symétriques des médianes (en vert) par rapport aux bissectrices (en pointillés). Les symédianes se coupent au point de Lemoine du triangle.

La symédiane en un sommet A d'un triangle est l'isogonale de la médiane par rapport aux côtés de l'angle A.

Si est la longueur de la médiane issue de A, alors la longueur de la symédiane issue de A est donnée par la formule

Point de Lemoine modifier

 
Point d'intersection des symédianes d'un triangle

Émile Lemoine a démontré en 1873 que les trois symédianes d'un triangle d'un plan affine euclidien sont concourantes[2]; il les appelle « médiane antiparallèle » et leur intersection « centre des médianes antiparallèles[3]», le terme de « symédiane » sera introduit par Maurice d'Ocagne en 1880[4],[5]. Leur point d'intersection s'appelle le point de Lemoine du triangle ABC. De ce fait, c'est le conjugué isogonal du centre de gravité G du triangle.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.

Il s'ensuit que le point de Lemoine est le barycentre des points pondérés : (A , a2), (B , b2), (C , c2).

Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ces côtés.

C'est le point dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale[6].

Le point de Lemoine est le centre de gravité du triangle formé par ses projections orthogonales sur les trois côtés du triangle ABC.

Ce point est aussi appelé point de Grèbe par les auteurs allemands.

Le point de Lemoine (de nombre de Kimberling X(6)) est à l'intersection de la droite de Fermat (qui passe par les deux points de Fermat-Torricelli) , de la ligne de Napoléon (qui passe par les deux points de Napoléon) et de la droite reliant les deux points de Vecten.

Droite de Lemoine modifier

La droite de Lemoine du triangle est la polaire du point de Lemoine par rapport au cercle circonscrit du triangle. C'est sur cette droite que reposent aussi les trois centres des cercles d'Apollonius, cercles correspondants aux triplets (A, B, CA/CB), (B, C, AB/AC), (C, A, BC/BA).

Milieu d'une antiparallèle à un côté du triangle modifier

La symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu.

 
Milieu d'une symédiane

Soit M' un point mobile de la médiane (AA') du triangle ABC, et (DE) une antiparallèle à (BC) qui coupe la symédiane issue du sommet A en M.

L'antiparallèle (DE) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit de ABC.

Par la symétrie d'axe la bissectrice (AI) de  , les points D, M, E ont pour images D’, M’, E’.

(D’E’) est parallèle à (BC). M’, situé sur la médiane [AA’], est le milieu de [D’E’]. Par symétrie réciproque, M est le milieu de [DE].

Une réciproque

Dans le triangle ABC, soit M le milieu de [DE] une antiparallèle à (BC). On montre que (AM) est la symédiane passant par A :

La droite (AM) est la conjuguée harmonique de la tangente en A au cercle circonscrit par rapport à (AB, AC).

La droite (AM) est donc la polaire, par rapport au cercle circonscrit du point TA, intersection de (BC) avec la tangente en A au cercle circonscrit.

Par réciprocité polaire, la droite (AM) contient le pôle T' de (BC). (AM) est la symédiane issue de A.

Application : cercles de Tücker

Références modifier

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Symmedian Point », sur MathWorld.
  2. Emile Lemoine, « Note sur un point remarquable du plan d’un triangle », Nouvelles annales de mathématiques, 2e série, vol. 12,‎ , p. 364-366 (lire en ligne)
  3. Émile Lemoine, « Sur une généralisation des propriétés relatives au cercle de Brocard et au point de Lemoine », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 3, no 4,‎ , p. 201-223 (lire en ligne)
  4. Maurice d'Ocagne, « Note sur une ligne considérée dans le triangle rectiligne », Journal de mathématiques élémentaires,‎ (lire en ligne)
  5. Maurice d'Ocagne, « Sur un élément du triangle rectiligne ; symédiane », Nouvelles annales de mathématiques, 3e série, vol. 2,‎ , p. 450-464 (lire en ligne)
  6. Jean-Pierre Boudine, L'appel des maths, t. 2, Cassini, p. 145,165-166