Centre de masse d'une plaque homogène

En mécanique, le centre de masse d'une plaque homogène est le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Pratiquement, dans le cas d'un champ de pesanteur uniforme le centre de masse est confondu avec le centre de gravité de la plaque.

Le centre de masse d'une plaque homogène peut se calculer à l'aide du calcul intégral mais il existe des règles simples qui permettent de trouver directement le centre de masse de plaques dont la forme géométrique est remarquable en utilisant l'outil géométrique du barycentre.

Détermination expérimentaleModifier

Cette méthode est utile lorsque l'on souhaite trouver le centre de gravité d'un objet plan dont la forme est complexe et dont on ne connaît pas les dimensions exactes.

Principes de calculModifier

Centre de masse d'un triangleModifier

 
Le centre de gravité d'un triangle est à l'intersection de ses médianes

Si la plaque homogène a la forme d'un triangle, son centre de masse correspond à l'intersection des médianes. C'est donc aussi l'isobarycentre des sommets. Cette situation est assez singulière pour être signalée.

 
Tout polygone peut se découper en triangles, et tout triangle peut se découper en triangles rectangles

En général, le centre de masse d'une plaque homogène polygonale ne coïncide pas avec l'isobarycentre de ses sommets. Par contre, tout polygone peut se découper en triangles, on peut donc déterminer aisément le centre de gravité de chaque sous-partie.

 
Centre de gravité d'un triangle rectangle

Par ailleurs, tout triangle peut se décomposer en deux triangles rectangles : il suffit donc considérer une hauteur de ce triangle. Le centre de gravité d'un triangle rectangle se trouve au tiers des côtés de l'angle droit. Cette propriété facilite le calcul.

Éléments de symétrieModifier

Si la plaque homogène possède un axe de symétrie alors le centre de masse est situé sur cet axe. Par corollaire, à partir de deux axes de symétrie, le centre de masse se trouve à leur intersection.

Si la plaque homogène est invariante par rotation d'angle non trivial, son centre de masse est confondu avec son centre de rotation. En particulier, si la plaque homogène possède un centre de symétrie c'est aussi son centre de masse.

Le centre de masse d'un parallélogramme est donc l'intersection de ses diagonales. Le centre de masse d'un cercle ou d'un ellipse coïncide avec leur centre.

Principe d'addition et de soustractionModifier

Une plaque homogène composée de deux plaques   et   de centres de masse respectifs   et   a pour centre de masse le barycentre des points   et   pondérés par les aires des plaques   et  .

Une plaque homogène composée d'une plaque  , de centre de masse   et d'aire  , de laquelle a été ôtée une plaque   de centre de masse   et d'aire   a pour centre de masse le barycentre des points   et   pondérés par les réels   et  .

Le centre de masse d'une plaque polygonale peut donc être déterminée en découpant le polygone en triangles, en construisant le centre de masse   de chaque triangle et en calculant chacune de leurs aires  , le centre de masse est alors le barycentre du système pondéré  . On verra dans les exemples que l'on peut même se passer du calcul des aires en utilisant des propriétés d'alignement.

Calcul intégralModifier

Si l'on munit la plaque d'un repère orthonormé, l'abscisse et l'ordonnée du centre de masse peuvent être calculées à l'aide d'un calcul intégral. Si l'on appelle   la longueur totale de la section de la plaque par la droite d'abscisse  , et si   est l'aire de la plaque, l'abscisse du centre de masse est donné par la formule

 

Il est parfois nécessaire ou plus commode de recourir à des intégrales multiples.

Constructions de centres de masse et formulaireModifier

Mise en pratique des principesModifier

Centre de masse d'une plaque en forme de LModifier

La plaque en forme de L est formée de deux rectangles de centres   et   et d'aire   et  . Le centre de masse de la plaque est donc le barycentre de  , il est situé entre   et   et vérifie :

 .

Dans le dessin ci-dessous, le petit rectangle est deux fois plus petit que le grand, la distance   est donc égale au tiers de la distance  .

On remarque que le point   est aligné avec   et  . Cette propriété permet d'éviter le calcul des aires : il suffit d'imaginer deux découpages différents de la plaque. Le point   étant situé sur la droite   tout comme sur la droite  , il correspond alors au point d'intersection de ces deux droites. Cela est facilement réalisable pour la plaque en L car elle peut être découpée en deux rectangles de deux manières différentes.

Centre de masse d'une plaque en forme de quadrilatèreModifier

 
Centre de masse d'un quadrilatère quelconque.

La plaque peut être découpée suivant une diagonale en deux triangles dont les centre de masse   et   sont aisés à construire. Le centre de masse de la plaque est alors aligné avec ces deux points.

Un autre découpage de la plaque suivant l'autre diagonale fournit un autre alignement.

Le centre de masse est alors le point d'intersection des droites   et  . On remarque que ce point ne coïncide pas avec l'isobarycentre des sommets qui serait le milieu des milieux des diagonales.

Le théorème de Wittenbauer fournit une construction simple du centre de masse d'un quadrilatère comme centre du parallélogramme de Wittenbauer. Il permet en outre de trouver la relation existant entre le point d'intersection   des diagonales, le centre de masse   et l'isobarycentre   des quatre sommets :

 

Centre de masse d'un « torque »Modifier

 
Centre de masse d'un torque.

Une plaque homogène en forme de torque est constituée d'un disque de centre   de rayon   dans lequel a été découpé un disque de centre   et de rayon   tangent au premier disque. Les surfaces des plaques sont proportionnelles au carré des rayons. Le centre de masse du torque est alors le barycentre du système  . On a donc

 

Dans le dessin ci-contre, le rayon du petit cercle est deux fois plus petit que le rayon du grand, les points  ,   et   sont alignés dans cet ordre et  .

FormulaireModifier

Trapèze
 
Centre de masse d'un trapèze quelconque.
Le centre de masse d'un trapèze de bases   et de hauteur   est situé sur la médiane joignant les deux bases et à une distance de la grande base égale à  . C'est le barycentre des milieux   et   pondérés respectivement par   et  .
Polygone
Si un polygone simple a pour sommets les points   et si   a pour coordonnées  , alors les coordonnées de   sont données par les formules
 ,
 .
Secteur circulaire
 
Centre de masse d'un secteur circulaire.
Le centre de masse d'un secteur circulaire d'angle 2  (en radian) et de rayon   est situé sur la bissectrice de l'angle et à une distance du centre égale à  .
Si l'on note   la corde et l'arc du secteur angulaire, le centre de masse est à une distance du centre égale à  
Parabole
Le centre de masse d'un plaque en forme de parabole de hauteur   est sur l'axe de symétrie de la parabole et à une distance du sommet égale à  
De manière plus générale, le centre de masse d'une section de parabole est située au 3/5 de la flèche en partant du sommet.

AnnexesModifier

Notes et référencesModifier

BibliographieModifier

Voir aussiModifier