Catégorie homotopique des complexes de chaînes

En algèbre homologique, la catégorie homotopique K(A) des complexes de chaînes dans une catégorie additive A est un cadre pour travailler avec des complexes de chaînes et équivalences homotopiques. Elle est un intermédiaire entre la catégorie des complexes de chaînes Kom(A) de A et la catégorie dérivée D(A) de A lorsque A est abélien ; contrairement à la première, c'est une catégorie triangulée, et contrairement à la seconde, sa construction n'exige pas que A soit abélien. Moralement, alors que D(A) transforme en isomorphismes toutes applications de complexes de chaînes qui sont des quasi-isomorphismes dans Kom(A), K(A) effectue la même transformation en quasi-isomorphismes que pour une « bonne raison », à savoir ceux qui ont effectivement un inverse à équivalence d'homotopie près. Ainsi, K(A) est plus compréhensible que D(A).

Définitions

Soit A une catégorie additive. La catégorie homotopique K(A) est basée sur la définition suivante : si on a des complexes A, B et des applications f, g de A à B, une homotopie de chaîne de f à g est une collection d'applications $h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}$ (et non un morphisme de complexes) telle que

$f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},$ ou simplement $f-g=d_{B}h+hd_{A}.$

Cela peut être représenté comme suit :

Si f et g sont homotopes, on dit que $f-g$ est homotope à 0. L'ensemble des morphismes de complexes qui sont homotope à 0 forme un groupe additif.

La catégorie homotopique des complexes de chaînes complexes K(A) est alors définie comme suit : ses objets sont les mêmes que les objets de Kom(A), à savoir les complexes de chaînes. Ses morphismes sont les « morphismes de complexes modulo homotopie » : c'est-à-dire qu'on définit une relation d'équivalence

$f\sim g\$ si f est homotope à g

et on définit

$\operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim$

le quotient par cette relation ; il en résulte une catégorie additive.

Un morphisme $f:A\rightarrow B$ qui est un isomorphisme dans K(A) s'appelle une équivalence d'homotopie. Cela signifie qu'il existe une autre application $g:B\rightarrow A$, tel que les deux compositions soient homotopes à l'identité : $f\circ g\sim Id_{B}$ et $g\circ f\sim Id_{A}$ .

Le nom « homotopie » vient du fait que les applications homotopes d'espaces topologiques induisent des applications homotopes (au sens ci-dessus) de chaînes singulières.

Remarques

Deux applications homotopes de chaîne f et g induisent les mêmes applications en l'homologie car (f − g) envoie les cycles sur des bords, qui sont nulles en homologie. En particulier une équivalence d'homotopie est un quasi-isomorphisme. (La réciproque est fausse en général.) Cela montre qu'il existe un foncteur canonique $K(A)\rightarrow D(A)$ sur la catégorie dérivée (si A est abélien).

Généralisation

Plus généralement, la catégorie homotopique Ho(C) d'une catégorie différentielle graduée C est définie comme ayant les mêmes objets que C, mais les morphismes sont définis par $\operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)$. (Cela revient à l'homotopie des complexes de chaînes si C est la catégorie des complexes dont les morphismes n'ont pas à respecter les différentielles).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Homotopy category of chain complexes » (voir la liste des auteurs).

•  Yuri Ivanovich Manin et Sergei I. Gelfand, Methods of Homological Algebra, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2003 (ISBN 978-3-540-43583-9)
•  Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, vol. 38, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1994 (ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259, MR 1269324)