Calcul fonctionnel matriciel

En mathématiques, le calcul fonctionnel matriciel est une théorie permettant d'étendre à des matrices une fonction définie initialement uniquement pour des variables réelles ou complexes.

Fonction d'une matrice

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En prolongeant ces définitions, on peut définir pour toute fonctionnelle f complexe définie sur U un ouvert de   contenant les valeurs propres de M. Les propriétés de régularité sont à prendre au sens complexe, ainsi on dit qu'une fonction f est  -dérivable en z0 si

 

Définitions

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Par interpolation

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Indépendance du choix de polynôme

On considère alors un polynôme P qui interpole f aux points λi et aux ordres mi. On définit alors f(M) par P(M).

Théorème — La fonction matricielle ne dépend pas du choix du polynôme interpolateur P

En fait, on aurait pu se contenter d'interpoler f aux ordres de multiplicité géométriques (c'est-à-dire l'ordre des valeurs propres dans le polynôme minimal) pour avoir ce résultat :

Théorème —  Soit MMn(C) et P,Q ∈ C[X]. Soit   le polynôme minimal de M. Les propositions suivantes sont équivalentes.

  •  
  •  
  •  

Le calcul fonctionnel est donc bien défini indépendamment du choix du polynôme interpolateur. Ceci répond en particulier à la question laissée en suspens : le calcul fonctionnel défini pour les matrices diagonalisables ne dépendait pas du choix de la matrice de passage.

Formule de Sylvester

Les propriétés du calcul fonctionnel et l'expression du polynôme d'interpolation de Lagrange permettent d'établir la formule suivante, appelée formule de Sylvester. Pour toute matrice M diagonalisable de valeurs propres 1, ..., λk} et toute fonction définie sur un voisinage de ces valeurs propres

 
Il existe des formules analogues dans le cas non diagonalisable.

Par sa forme de Jordan

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Cette définition est plus générale et donc adaptée aux matrices non diagonalisables.

On considère alors sa forme de Jordan : pour une matrice M carrée de taille n, avec p valeurs propres 1, ..., λp} de multiplicités respectives {m1, ..., mp}, alors il existe une matrice P inversible telle que :

 

On a alors :

 

Par la formule intégrale de Cauchy

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f est analytique et Γ un contour fermé autour du spectre σ(M).

Propriétés

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Ce calcul fonctionnel hérite automatiquement des propriétés de morphismes du calcul fonctionnel polynomial : pour toutes fonctions f et g de classe C sur un ouvert U contenant les valeurs propres de M :

  •  
  •  
  •  1 désigne le polynôme constant égal à 1.
  •  id désigne l'application identité.
  •  
  •  

Exemples

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Exponentielle d'une matrice

On appelle alors exponentielle d'une matrice l'image de l'application

 

Cette définition est valable pour toute matrice carrée.

Logarithme d'une matrice

On appelle alors logarithme d'une matrice l'image de l'application[1]

 .

Cette définition n'est valable pour toute matrice carrée telle que  . De même que la fonction logarithme est multivaluée sur le plan complexe, le logarithme principal d'une matrice est une matrice dont les valeurs propres ont une partie imaginaire entre –π et π.

On peut définir le logarithme de toute matrice définie positive hermitienne avec la définition suivante :

 .
Polynôme matriciel

Pour tout polynôme  , on peut définir le polynôme matriciel :

 

Cette définition est valable pour toute matrice carrée.

Fonction d'une matrice 2×2

Pour toute fonction f, une matrice 2×2 peut s'écrire

 
  sont les valeurs propres de la matrice, soit les solutions de l'équation |AλI| = 0, et qui sont données par
 

Applications

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De la même façon qu'une exponentielle de matrice a été définie pour la résolution de systèmes différentiels linéaires du premier ordre, on peut définir une fonction de matrice pour des systèmes différentiels plus généraux. Par exemple, un système différentiel linéaire du second ordre, de la forme :

 

aura une solution de la forme :

 

où les cosinus et sinus de matrices sont définies par les séries matricielles :

 

et A est la racine carrée matricielle de A.

On peut ainsi définir la fonction signe matricielle (en) dans la résolution des équations discrète de Liapounov et de Riccati algébrique (en).

Les divers calculs fonctionnels

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Pour des descriptions détaillées plus rigoureuses, voir

Références

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  1. (en) Rajendra Bathia, Positive Definite Matrices, Princeton University Press, (lire en ligne)