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Raisonnement par analyse-synthèse

(Redirigé depuis Analyse-synthèse)

En mathématiques, le raisonnement par analyse-synthèse[1] est une méthode de détermination de l'ensemble des solutions d'un problème et de rédaction d'une démonstration de cette résolution.

PrincipeModifier

Un raisonnement par analyse-synthèse se déroule en deux étapes :

  1. l'analyse : on raisonne sur une hypothétique solution au problème et on accumule des déductions de propriétés qu'elle doit vérifier, du seul fait qu'elle est solution ;
  2. la synthèse : on examine tous les objets vérifiant les conditions nécessaires précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats pouvant être des solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.

Il arrive souvent que la phase d'analyse produise des conditions nécessaires si restrictives qu'il ne reste plus qu'un « candidat » qui les vérifie : dans ce cas, cette première phase prouve l'unicité de la solution, si elle existe. La phase d'analyse peut aussi aboutir sur une contradiction : dans ce cas, cela démontre que le problème n'a pas de solution. Par la suite, la phase de synthèse permet de montrer soit l'existence de plusieurs solutions, soit d'une unique solution (si un seul des candidats fonctionne), soit qu'il n'y a aucune solution (si aucun candidat ne fonctionne).

Plus l'analyse est poussée, et plus le nombre de candidats à tester pour la synthèse est réduit. Dans le cas de figure, fréquent, où l'analyse est poussée à son maximum, tous les candidats sont solutions lors de la synthèse. Ce cas de figure d'une analyse-synthèse « complète » peut alors être vu comme une double inclusion d'ensemble : l'ensemble A des solutions est inclus dans un certain ensemble B (analyse) puis cet ensemble B est formé de solutions (synthèse). Ainsi, même si l'on procède par analyse-synthèse durant la phase de recherche (au brouillon), il est possible de rédiger la démonstration au propre par double inclusion. Cela explique pourquoi, bien que l'analyse-synthèse soit une méthode très pratique pour résoudre des problèmes, elle est rarement utilisée pour la rédaction des démonstrations dans les ouvrages.

ExemplesModifier

Voir aussiModifier

Pour approfondir : Joseph Rémi Léopold Delbœuf, Prolégomènes philosophiques de la géometrie et solution des postulats, J. Desoer, , « De l'analyse et de la synthèse en mathématiques », p. 104 à 117.

Notes et référencesModifier

RéférencesModifier

  1. Michel de Cointet et Henri Bareil, « Égalités et équations », Bulletin de l'APMEP, n° 446, 2003, p. 347-354, notice.