Algorithme de Ford-Fulkerson

En informatique, l'algorithme de Ford-Fulkerson est un algorithme pour le problème du flot maximum, un problème d'optimisation classique dans le domaine de la recherche opérationnelle. Il est dû à Lester Randolph Ford junior et D. R. Fulkerson[1] et c'est une variante de l'algorithme de Busacker et Gowen.

Exemple d'exécution de l'algorithme de Fold-Fulkerson

Problème du flot maximumModifier

Définition du problèmeModifier

Ce problème d'optimisation peut être représenté par un graphe comportant une entrée (à gauche) et une sortie (à droite). Le flot représente la circulation de l'entrée vers la sortie d'où l'utilisation de cet algorithme dans les problèmes de réseaux. Les applications sont multiples : problèmes informatiques, routiers, ferroviaires, etc. Il s'applique également à tous les autres problèmes de transferts comme les importations/exportations, les flux migratoires, démographiques mais aussi sur des flux purement numériques tels que les transferts financiers. Pour les données de très grande taille, il existe plusieurs algorithmes plus performants pour résoudre le problème de flot maximum.

Exemple d'applicationModifier

Une société de fret dispose de trois centres : un à Paris, le deuxième à Lyon, le troisième à Marseille.
Trois destinations sont possibles : la Pologne, la Suède, la Grèce.

Chacun des centres de fret a une capacité maximale de transport ainsi qu'un stock initial de marchandises. De même, chaque pays d'arrivée a une demande maximale pour les importations.

L'algorithme de Ford-Fulkerson va permettre d'optimiser ces flux à l'aide d'un outil de modélisation mathématique. La structure sous-jacente est représentée par un graphe orienté dont le sommet de gauche symbolise le stock initial. Celui-ci est relié à chacun des premiers arcs ou arêtes.

Dans l'exemple présent, la matrice d'adjacence porte donc dans sa première colonne les valeurs des dits stocks. Inversement, à l'extrémité de la chaîne, la matrice associée comprendra dans sa dernière colonne les demandes respectives des pays cités. Les sommets centraux comprendront les différentes combinaisons de fret maximal d'un point à l'autre.

Le problème peut être généralisé à une circulation dans un réseau (véhicules, fluides, monnaie, etc.), les grandeurs mathématiques remplaçant indistinctement les faits réels qu'elles sont censées représenter.

FormalisationModifier

RéseauModifier

Soit un réseau   avec :

  •   un graphe orienté irréflexif
  • une capacité   avec pour convention: si l'arête   n'existe pas,  
  • un sommet source s sans arcs entrants
  • un sommet puits t sans arcs sortants

On suppose qu'il n'y a pas d'arcs anti-parallèles, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'arcs de u vers v et de v vers u.

FlotModifier

Le flot d'un réseau est une fonction   qui vérifie :

  • pour tous sommets  , on a  
  • pour tout sommet   tel que   et   :   (le flot entrant est égal au flot sortant).

La valeur d'un flot f est  .

AlgorithmeModifier

Il s'agit d'un algorithme itératif. À chaque itération, la solution courante est un flot qui satisfait les contraintes de capacité (c'est donc un flot réalisable) et l'algorithme essaie d'augmenter la valeur de ce flot. Cela peut nécessiter d'annuler les mauvais choix. Pour ce faire, on définit le graphe résiduel de G et de f qui indique les modifications possibles (ajout ou annulation): c'est un graphe pondéré   où on a

 

et  .

Pseudo-codeModifier

  Entrée  Un réseau  
  Sortie Un flot maximal f
  Fonction Ford_Fulkerson( )
       flot nul
     Tant que il y a un chemin simple   de s à t dans le graphe résiduel   faire:
         
        pour toute arête  
           si   :
               
           sinon :
               
     renvoyer f

Exemple d'exécutionModifier

Description Graphe  
(avec capacité  )
Flot   Graphe résiduel  
(avec capacité résiduelle  )
On considère le réseau de flot  , consistant du graphe   à quatre sommets   et cinq arêtes  , de la source  , du puits   et de la fonction de capacité  .

On commence avec le flot vide   qui attribue la valeur   à chaque arête. Initialement, le graphe résiduel  et les capacités résiduelles   correspondent alors exactement au réseau   avec les capacités  .

 
   
(s,u) 4
(u,t) 1
(s,v) 2
(v,t) 6
(u,v) 3
 
   
(s,u) 0
(u,t) 0
(s,v) 0
(v,t) 0
(u,v) 0
 
     
(s,u) 4
(u,t) 1
(s,v) 2
(v,t) 6
(u,v) 3
Description Chemin améliorant  
(avec capacités résiduelles  )
Flot   Graphe résiduel  
résultant (avec les nouvelles capacités résiduelles  )
Supposons que l'algorithme choisisse d'abord le chemin   (bleu). Le long de ce chemin, on peut augmenter le débit au maximum de   puisque l'arête   est limitante ( ). Il en résulte un nouveau flot (qu'on appellera toujours  ) avec  .

L'arête   a une capacité de  . Elle est utilisée dans le flot :  . Dans le graphe résiduel, sa capacité résiduelle sera donc  . De même   et  .

Les trois arêtes   sont strictement positives dans le flot. Ces poids dans le flot ne sont peut être pas les plus optimaux. Les nouvelles arêtes arrières   (en rouge) dans le graphe résiduel marquent alors le fait que l'on pourra toujours diminuer le flot sur ces arêtes.

   
   
(s,u) 3
(u,t) 0
(s,v) 0
(v,t) 3
(u,v) 3
 
     
(s,u) 1 3
(u,t) 1
(s,v) 2
(v,t) 3 3
(u,v) 3
Supposons que l'algorithme sélectionne le chemin améliorant  . L'augmentation maximale du débit est limitée par la capacité résiduelle  . Pour la première fois, on passe par un arête arrière ( ). Alors que le flot f augmente de 1 le long des arêtes (s,v) et (u,t), il diminue de 1 le long de (u,v).

On peut remarquer que les capacités résiduelles des arêtes arrières sont toujours égales aux poids dans le flot.

   
   
(s,u) 3
(u,t) 1
(s,v) 1
(v,t) 3
(u,v) 2
 
     
su 1 3
(u,t) 1
(s,v) 1 1
(v,t) 3 3
(u,v) 1 2
Supposons que l'algorithme choisisse à nouveau le chemin  . Cette fois, le débit le long du chemin ne peut être augmenté que de 1. Cela correspond justement au montant par lequel on a diminué (u,v) à l'étape précédente. En effet, l'algorithme peut faire beaucoup de va-et-vient.    
   
su 4
(u,t) 1
(s,v) 1
(v,t) 4
(u,v) 3
 
     
su 4
(u,t) 1
(s,v) 1 1
(v,t) 2 4
(u,v) 3
Ici, seul le chemin   est possible. Cela augmente alors le débit de 1. Le flot a alors une valeur de  . Les arêtes sortantes de la source sont pleinement utilisées donc ce flot est un flot maximal. La coupure au niveau de (s,u) et (s,v) est donc une coupe minimale. On respecte donc bien le Théorème flot-max/coupe-min qui affirme qu'un flot maximal a la même valeur qu'une coupe minimale.

L'algorithme se termine alors car aucun chemin de s à t n'existe dans le graphe résiduel obtenu. On a donc bien obtenu un flot maximal.

   
   
su 4
(u,t) 1
(s,v) 2
(v,t) 5
(u,v) 3
 
     
su 4
(u,t) 1
(s,v) 2
(v,t) 1 5
(u,v) 3

Propriétés de l'algorithmeModifier

ComplexitéModifier

Le flot maximal est atteint quand plus aucun chemin améliorant ne peut être trouvé. Cependant, il n'y a aucune certitude que cette situation soit atteinte, mais la réponse sera correcte si l'algorithme se termine. Dans le cas où l'algorithme s'exécute indéfiniment, le flot peut même ne pas converger vers le flot maximum. Néanmoins, cette situation ne se produit qu'avec des valeurs de flot irrationnelles.[réf. nécessaire] Lorsque les capacités sont des entiers, le temps d'exécution de l'algorithme de Ford-Fulkerson est borné par   (voir les notations de Landau), où   est le nombre d'arêtes dans le réseau de flot et   est la valeur du flot maximal. En effet, chaque chemin augmentant peut être trouvé en   et augmente le débit d'une quantité entière d'au moins   avec   comme borne supérieure.

Une variante de l'algorithme de Ford-Fulkerson avec terminaison garantie et un temps d'exécution indépendant de la valeur de flot maximal est l' algorithme d'Edmonds-Karp, qui a une complexité temporelle en  .

TerminaisonModifier

Si les capacités des arêtes sont des entiers, l'algorithme termine.

On peut le démontrer par l'absurde, en supposant que l'algorithme ne termine pas. En considérant la suite des flots calculés, on distingue plusieurs propriétés :

  • La suite est strictement croissante
  • Elle est majorée par la valeur du flot maximal
  • Elle est à valeurs entières

Cette suite entière est infinie, majorée et strictement croissante, ce qui est absurde.

Notes et référencesModifier

  1. (en) L. R. Ford et D. R. Fulkerson, « Maximal Flow Through a Network », Canadian Journal of Mathematics, vol. 8,‎ 1956/ed, p. 399–404 (ISSN 0008-414X et 1496-4279, DOI 10.4153/CJM-1956-045-5, lire en ligne, consulté le )

Voir aussiModifier

Liens externesModifier

BibliographieModifier

Sur les autres projets Wikimedia :

  • A simple algorithm for finding maximal network flows and an application to the Hitchock problem (FORD L.R., FULKERSON D.R), Rand Report Rand Corporation, Santa Monica, .
  • Lester R. Ford et Delbert R. Fulkerson, « Maximal flow through a network », Canadian journal of Mathematics, vol. 8, no 3,‎ , p. 399-404
  • The transhipment problem (ORDEN A.), Management Science 2, 1956.
  • Sur la déficience d'un réseau infini (BERGE C.), Comptes rendus de l'Académie des Sciences 245, 1957.
  • Invitation à la recherche opérationnelle (KAUFMANN A., FAURE R.) Dunod Entreprise, 1979.
  • Contribution de la théorie des graphes à l'étude des problèmes d'ordonnancement (ROY B.) Congrès international de recherche opérationnelle, 1960.
  • Lester Randolph Ford et Delbert Ray Fulkerson, Flows in Networks, Princeton, NJ, Princeton University Press,
  • Ravindra K. Ajuha, Thomas L. Magnanti et James B. Orlin, Network flows - theory, algorithms and applications, Prentice Hall,
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest et Clifford Stein, Introduction to algorithms, MIT Press,
  • Jon Kleinberg et Eva Tardos, Algorithms design, Pearson Education India,