Algorithme d'Abramov

En mathématiques, en particulier en calcul formel, l'algorithme d'Abramov est un algorithme qui calcule toutes les solutions rationnelles d'une relation de récurrence linéaire à coefficients polynomiaux. L'algorithme a été publié par Sergei A. Abramov en 1989.

Dénominateur universel

Le concept principal de l'algorithme d'Abramov est la notion de dénominateur universel. Soit $\mathbb {K}$ être un corps de caractéristique zéro. La dispersion $\operatorname {dis} (p,q)$ de deux polynômes $p,q\in \mathbb {K} [n]$ est par définition

$\operatorname {dis} (p,q)=\max\{k\in \mathbb {N} \,:\,\deg(\operatorname {pgcd} (p(n),q(n+k)))\geq 1\}\cup \{-1\}$,

où $\mathbb {N}$ désigne l'ensemble des entiers non négatifs. Ainsi, la dispersion est le plus grand entier $k\in \mathbb {N}$ tel que le polynôme $p$ et le polynôme $q$ décalé de $k$ ont un facteur commun. La dispersion est égale à $-1$ si un tel $k$ n'existe pas. La dispersion peut être calculée comme la plus grande racine entière non négative du résultant$\operatorname {res} _{n}(p(n),q(n+k))\in \mathbb {K} [k]$.

Soit

$\sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)$

une relation de récurrence d'ordre $r$ à coefficients polynomiaux $p_{k}\in \mathbb {K} [n]$, avec $f\in \mathbb {K} [n]$ et soit $y(n)\in \mathbb {K} (n)$ une solution rationnelle. On pose $y(n)=p(n)/q(n)$ pour deux polynômes relativement premiers $p,q\in \mathbb {K} [n]$. Soit $D=\operatorname {dis} (p_{r}(n-r),p_{0}(n))$ et

$u(n)=\operatorname {pgcd} ([p_{0}(n+D)]^{\underline {D+1}},[p_{r}(n-r)]^{\underline {D+1}})$

où

$[p(n)]^{\underline {k}}=p(n)p(n-1)\cdots p(n-k+1)$

désigne la factorielle décroissante d'une fonction. Alors $q(n)$ divise $u(n)$ . Par conséquent, le polynôme $u(n)$ peut être utilisé comme dénominateur pour toutes les solutions rationnelles $y(n)$ et c'est pourquoi on l'appelle un dénominateur universel.

Algorithme

Soit à nouveau

${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n)}$

une équation de récurrence à coefficients polynomiaux et soit ${\textstyle u(n)}$ un dénominateur universel. On pose ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$ pour un polynôme inconnu ${\textstyle z(n)\in \mathbb {K} [n]}$ ; en notant

${\textstyle \ell (n)=\operatorname {ppcm} (u(n),\dots ,u(n+r))}$

l'équation de récurrence équivaut à

$\sum _{k=0}^{r}p_{k}(n){\frac {z(n+k)}{u(n+k)}}\ell (n)=f(n)\ell (n)$.

Comme on peut simplifier par ${\textstyle u(n+k)}$, on obtient une équation de récurrence linéaire avec des coefficients polynomiaux qui peut être résolue pour ${\textstyle z(n)}$. Il existe des algorithmes pour trouver des solutions polynomiales. Les solutions pour ${\textstyle z(n)}$ peuvent ensuite être utilisées à nouveau pour calculer les solutions rationnelles ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$.

algorithm rational_solutions is
    input: Linear recurrence equation ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n)\,y(n+k)=f(n),p_{k},f\in \mathbb {K} [n],p_{0},p_{r}\neq 0}$.
    output: The general rational solution ${\textstyle y}$ if there are any solutions, otherwise false.

    ${\textstyle D=\operatorname {disp} (p_{r}(n-r),p_{0}(n))}$
    ${\textstyle u(n)=\operatorname {pgcd} ([p_{0}(n+D)]^{\underline {D+1}},[p_{r}(n-r)]^{\underline {D+1}})}$
    ${\textstyle \ell (n)=\operatorname {ppcm} (u(n),\dots ,u(n+r))}$
    Solve ${\textstyle \sum _{k=0}^{r}p_{k}(n){\frac {z(n+k)}{u(n+k)}}\ell (n)=f(n)\ell (n)}$ for general polynomial solution ${\textstyle z(n)}$
    if solution ${\textstyle z(n)}$ exists then
        return general solution ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$
    else
        return false
    end if

Exemple

L'équation de récurrence homogène d'ordre ${\textstyle 1}$

$(n-1)\,y(n)+(-n-1)\,y(n+1)=0$

sur ${\textstyle \mathbb {Q} }$ a une solution rationnelle. Elle peut être calculée en considérant la dispersion

$D=\operatorname {dis} (p_{1}(n-1),p_{0}(n))=\operatorname {disp} (-n,n-1)=1$.

Cela donne le dénominateur universel suivant:

$u(n)=\operatorname {pgcd} ([p_{0}(n+1)]^{\underline {2}},[p_{r}(n-1)]^{\underline {2}})=(n-1)n$

et

$\ell (n)=\operatorname {ppcm} (u(n),u(n+1))=(n-1)n(n+1)$.

En multipliant l'équation de récurrence d'origine par ${\textstyle \ell (n)}$ et en posant ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$ on obtient :

$(n-1)(n+1)\,z(n)+(-n-1)(n-1)\,z(n+1)=0$.

Cette équation a la solution polynomiale

${\textstyle z(n)=c}$

pour une constante arbitraire ${\textstyle c\in \mathbb {Q} }$. En posant ${\textstyle y(n)=z(n)/u(n)}$ la solution rationnelle générale est

$y(n)={\frac {c}{(n-1)n}}$

pour un ${\textstyle c\in \mathbb {Q} }$ quelconque.

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