Étendue géométrique

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Étendue de faisceau
Unités SI mètre carré-stéradian
Base SI m2sr
Nature Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel
Lien à d'autres grandeurs

=

L'étendue géométrique et l'étendue optique sont deux grandeurs, utilisées en radiométrie et en photométrie, qui caractérisent la part du rayonnement lumineux émis par une source étendue qui atteint un récepteur. Leur unité dans le système international est le mètre carré-stéradian (m2·sr).

Le faisceau est l'ensemble des rayons reliant l'un quelconque des points de la surface émettrice à l'un quelconque des points de la surface réceptrice. L'étendue géométrique peut être vue comme la grandeur géométrique caractérisant la taille de ce canal, ou de ce tube, de transfert. Elle peut aussi bien être définie du point de vue du récepteur que de la source. L'étendue géométrique permet de relier deux grandeurs photométriques ou radiométriques, d'une part le flux lumineux et la luminance lumineuse , et d'autre part le flux énergétique et la luminance énergétique .

L'étendue optique, quant à elle, permet de prendre en compte les variations de l'indice de réfraction du milieu au cours de la propagation : cette dernière influence la dispersion des rayons lumineux. La conservation de l'étendue d'un faisceau au travers d'un système optique exprime la conservation de la puissance lumineuse de ce faisceau, et donc l'absence de perte dans le système. La notion est reliée à celle d'invariant de Lagrange-Helmholtz, également constant dans un système optique parfait. C'est un concept fondamental en optique non imageante.

DéfinitionsModifier

 
Notations utilisées.

Étendue géométrique élémentaireModifier

Considérons une source lumineuse   et un récepteur  , tous deux étendus, c'est-à-dire constitués d'un ensemble de points, séparés par un milieu parfaitement transparent. Pour étudier la transmission de la lumière entre ces deux surfaces il faut étudier la contribution de chaque point de   à l'éclairement de chaque point de  . On fait appel au calcul infinitésimal, ainsi l'étendue géométrique d'un élément de surface   vers un élément de surface   s'exprime[1],[2] :

 .

  •   et   sont deux éléments de surface suffisamment petits pour qu'on puisse les assimiler à des portions de plan, appartenant respectivement à   et   et reliés par un faisceau lumineux élémentaire.
  •   et   sont respectivement les vecteurs normaux unitaires des éléments de surface   et  .
  •   et   sont les angles entre la direction de propagation et vecteur normal correspondant, respectivement   et  .
  •   est l'angle solide sous lequel l'élément de surface   est vu depuis l'élément de surface  , par définition :  .
  •   la distance des deux surfaces élémentaires   et  .

Il est intéressant d'observer la propriété suivante : l'étendue géométrique de   vers   est égale à l'étendue géométrique de   vers  . En effet, le canal qui relie les deux surfaces est le même.

Étendue géométrique intégraleModifier

L'étendue géométrique, parfois qualifiée de totale, globale ou intégrale, qui relie les surfaces   et   est l'intégrale double sur   et   de l'étendue élémentaire, sur les parties des deux surfaces   et   qui sont visibles de l'une à l'autre. L'étendue du système dans son ensemble est donc :

 

Ici encore, l'étendue géométrique du faisceau qui relie   et   est la même suivant que l'on considère le faisceau élémentaire au départ ou à l'arrivée.

Étendue optique élémentaireModifier

Tout au long de la propagation du faisceau lumineux l'étendue géométrique peut changer : une ou plusieurs réflexions ou réfractions peuvent le dévier et modifier sa géométrie. L'étendue optique permet de prendre en compte les variations de l'indice de réfraction. Son expression est[3] :

 .

L'étendue optique élémentaire est un invariant optique :   se conserve dans les réflexions et les réfractions.

Étendue optique intégraleModifier

L'étendue du système dans son ensemble est donc :

 .

On peut montrer que l'étendue optique   se conserve s'il est soumis à des phénomènes de réfraction et de réflexion[4]. Elle est donc également conservée lorsque les rayons traversent un système optique parfait. Cette conservation peut se démontrer de différentes manières, à partir de l'optique hamiltonienne ou via la seconde loi de la thermodynamique[5]. En revanche, l'étendue n'est pas conservée lorsque les rayons sont diffusés, ce qui conduit à augmenter l'angle solide du faisceau lumineux. Dans un système réel, l'étendue peut donc rester constante ou augmenter, mais ne peut pas diminuer. C'est une conséquence directe de l'augmentation de l'entropie du système, qui ne peut être compensée qu'en disposant d'une information a priori permettant de reconstituer un front d'onde cohérent, par conjugaison de phase.

Cohérence d'un faisceau lumineuxModifier

On prouve qu'un faisceau monochromatique de longueur d'onde   est cohérent sur une étendue géométrique proche de  [6].

Facteur de formeModifier

Dans le cas usuel d'un rayonnement dans l'air, où  , l'étendue géométrique du faisceau lumineux élémentaire peut se mettre sous la forme :

 .

Le terme mis entre parenthèses est le facteur de forme élémentaire du transfert de   vers  .

Voir aussiModifier

Liens externesModifier

RéférencesModifier

  1. François Desvignes, Radiométrie. Photométrie, Éditions techniques de l'ingénieur (lire en ligne)
  2. Jean-Pierre Goure, L'optique dans les instruments : Généralités, Paris, Lavoisier, , 324 p. (ISBN 978-2-7462-1917-5, lire en ligne)
  3. Bernard Balland, Optique géométrique : imagerie et instruments, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, , 860 p. (ISBN 978-2-88074-689-6, lire en ligne)
  4. Luc Audaire, Detecteurs de Rayonnements Optiques, Éditions techniques de l'ingénieur (lire en ligne)
  5. (en) Julio Chaves, Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition, CRC Press, , 786 p. (ISBN 978-1-4822-0673-9, lire en ligne)
  6. Cours en ligne de l'Observatoire de Paris, Mai 2010