Équation biharmonique

fonction f qui est solution de l'équation Δ²f=0

En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction φ s'écrit :

est l'opérateur nabla et Δ l'opérateur laplacien. L'opérateur Δ2 est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien.

Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit :

Dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée :

avec r la distance euclidienne :

.

ce qui, pour n = 3, est solution de l'équation biharmonique.

Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie.

L'opérateur biharmonique en coordonnées polaires s'écrit :

La solution peut alors s'obtenir par séparation des variables ; c'est la solution de Michell (en).

Pour certaines simulations numériques, on pourra utiliser la version discrète du bilaplacien.

RéférencesModifier

Voir aussiModifier

Liens internesModifier

Liens externesModifier

BibliographieModifier

  • Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. (ISBN 1-58488-347-2).
  • S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. (ISBN 0-8247-0466-5).
  • J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987. (ISBN 0-486-65407-9).