Wikipédia:Lumière sur/Variables indépendantes et identiquement distribuées
Ce « Lumière sur » a été ou sera publié sur la page d'accueil de l'encyclopédie le dimanche 7 février 2016.
En théorie des probabilités et en statistique, des variables indépendantes et identiquement distribuées sont des variables aléatoires qui suivent toutes la même loi de probabilité et sont indépendantes. On dit que ce sont des variables aléatoires iid ou plus simplement des variables iid.
Un exemple classique de variables aléatoires iid apparait lors d'un jeu de pile ou face, c'est-à-dire des lancers successifs d'une même pièce. Les variables aléatoires qui représentent chaque résultat des lancers (0 pour face et 1 pour pile) suivent toutes la même loi de Bernoulli. De plus les lancers étant successifs, les résultats n'ont pas de lien de dépendance entre eux et ainsi les variables aléatoires sont indépendantes.
L'apparition de variables iid se retrouve régulièrement en statistique. En effet, lorsque l'on étudie un caractère sur une population, on réalise un échantillon : on sélectionne une partie de la population, on mesure le caractère étudié et on obtient ainsi une série de valeurs qui sont supposées aléatoires, indépendantes les unes des autres et qui sont modélisées par des variables aléatoires avec une loi de probabilité adaptée. Inversement, lorsque l'on récupère des données statistiques, des méthodes permettent de savoir si elles sont issues de variables iid.
Plusieurs théorèmes de probabilité nécessitent l'hypothèse de variables indépendantes et identiquement distribuées. En particulier le théorème central limite dans sa forme classique énonce que la somme renormalisée de variables iid tend vers une loi normale. C'est également le cas de la loi des grands nombres qui assure que la moyenne de variables iid converge vers l'espérance de la loi de probabilité des variables.
Des méthodes de calcul comme la méthode de Monte-Carlo utilisent des variables iid. Il est alors utile de savoir simuler informatiquement des valeurs iid ; ces valeurs simulées sont dites pseudo-aléatoires car obtenir des valeurs parfaitement iid est impossible. Les algorithmes utilisant la congruence sur les entiers ne donnent pas d'indépendance parfaite, on peut parler de hasard faible. En utilisant des phénomènes physiques, il est possible d'obtenir de meilleures valeurs pseudo-aléatoires, il s'agit de hasard fort. On utilise alors l'ancienne méthode des tables de nombres aléatoires.