Utilisateur:Zizomis/calculs de l'entropie

Il convient de manier l'entropie à travers un maximum d'exemples pour se pénétrer de l'importance du concept et de s'approprier peu à peu cette formule un peu magique, dite de Clausius :

${\acute {E}}tatA\to S({{\acute {E}}tatA})=\int _{chemin~r{\acute {e}}versible}^{{\acute {E}}tatA}{\frac {dQ}{T}}+Cste\,$ .

Voir deuxième principe de la thermodynamique. Voir aussi irréversibilité

Entropie d'une source

Soit une source de température : $T_{1}\,$, c’est-à-dire un réservoir infini de chaleur. Pour opérer une transformation réversible, la source doit recevoir le transfert thermique $Q$ sous la température $T_{1}\,$ : la formule de Clausius donne alors :

$\Delta S={\frac {Q}{T_{1}}}\,$

Entropie d'un corps de capacité calorifique "constante" c

En recevant $dQ\,$, le corps voit sa température augmenter de :$dT={\frac {dQ}{c}}\,$, la formule de Clausius donne donc :

$S=c\cdot \ln(T)+Cste.\,$

Remarque : si $c\to \infty$ (alors, le corps doit s'identifier à une source de chaleur), et :$T=T_{1}+dT\,$, on retrouve :$dS={\frac {Q}{T_{1}}}\,$ : cela est bien l'expression précédente.

Remarque : on prendra ce qui est dit précédemment avec précaution. En effet, toute capacité calorifique dépend de la température T et doit s'annuler à basse température, selon le troisième principe de la thermodynamique.

Un exemple qui peut surprendre : Soit 3 corps identiques de capacité $c\,$. Deux sont à la température $10.T=3000K\,$et le troisième est à la température $T=300K\,$. Quelle est la température maximale $T_{1}\,$ que peut atteindre le troisième, sans apport de travail extérieur(ni de chaleur bien sûr !) ?

Démonstration

La réponse est : $T_{1}=4800K>3000K\,$ ! et les 2 autres ne sont plus qu'à $T_{2}=750K\,$, évidemment.

La solution s'obtient rapidement :

• La conservation de la chaleur dans ce système fermé donne $20T+T=2T_{2}+T_{1}\,$

• La non création d'entropie entre l'état initial et l'état final permet d'écrire avec la formule de Clausius:

$2c\ ln(10T)+c\ log(T)=2c\ ln(T_{2})+c\ ln(T_{1})$

soit $100\ T^{3}=T_{2}^{2}.T_{1}\,$

Ce système de deux équations se résout en éliminant la solution triviale $T=T_{1}\,$

Le résultat est de bonne cohérence_logique : on peut premièrement se servir de la différence de température pour produire un travail qui sera stocké. Réinjecté dans une pompe à chaleur, ce travail va permettre au 3^e corps de monter en température.

Entropie d'un solide, basse température

À basse température (mais pas très basse), la capacité calorifique d'un solide est $c(T)=R.\left({\frac {T}{T_{1}}}\right)^{3}\,$. Calculer son entropie.

Réponse : $S={\frac {1}{3}}c\,$.

Un autre exemple qui peut surprendre

On laisse tomber dans un cryostat à la température $T_{1}\,$ une pièce de cuivre d'une hauteur $h_{1}=10cm\,$. En admettant que toute l'énergie du choc se transforme en chaleur, calculer la température du cuivre.

Démonstration

La réponse est : $T_{f}=(T_{1}^{3}T_{0})^{1/4}\,$ ! avec $T_{0}=4(M/R).gh+T_{1}$.

Comme $T_{0}$ peut être très grande, le résultat est surprenant.Soit pour $T_{0}=8.T_{1}$ , $T_{f}=2T_{1}$, la température double ! ce n'est pas la peine d'avoir refroidi autant le cryostat, et en perdre tout le bénéfice en lâchant le cuivre.

Bien remarquer que ceci ne dépend pas de la masse de cuivre !

Voir aussi

Irréversibilité.

Entropie d'un corps pur {{Portail|physique|chimie}} [[Catégorie:Thermodynamique]]