Utilisateur:Wiz/Brouillon/Polynômes de Tchebychev

En mathématiques, les polynômes de Tchebychev forment une suite de polynômes indexée par l'ensemble des entiers naturels,

On distingue deux familles de polynômes de Tchebychev :

  • les polynômes de Tchebychev de première espèce,
  • les polynômes de Tchebychev de seconde espèce,


Les polynômes de Tchebychev de première espèce jouent un rôle important en théorie de l'approximation, car leurs racines, aussi appelées nœuds de Tchebychev, sont utilisées comme nœuds dans l'interpolation polynomiale. L'interpolation polynomiale résultante minimise le problème du phénomène de Runge et fournit la meilleure approximation possible d'une fonction continue suivant la maximum norm.

Dans l'étude des équations différentielles, ils apparaissent comme solutions des équations différentielles de Tchebychev

et

pour les polynômes de première et de seconde espèce, respectivement. Ces équations sont des cas particuliers de l'équation différentielle de Sturm-Liouville.

Définitions

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Définition explicite

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Les polynômes de Tchebychev de première espèce vérifient la relation de récurrence

 
 
 

Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce, quant à eux, vérifient la relation de récurrence

 
 
 
 
 

Définition trigonométrique

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Les polynômes de Tchebychev de première espèce peuvent être définis par l'identité trigonométrique

 


Explicitement

 

De même, les polynômes de Tchebychev de seconde espèce satisfont