Utilisateur:Touriste/Brouillon3

L'espace des fonctions continues à support compact sur un espace topologique séparé peut être muni d'une topologie remarquable, qui en fait un espace localement convexe et dont la considération éclaire le point de vue fonctionnel en théorie de la mesure sur les espaces localement compacts séparés.

Cadre de l'article

Dans cet article, $X$ désigne un espace topologique séparé. Les fonctions considérées sont celles définies sur $X$ et à valeurs dans ℝ (éventuellement ℂ). Celles qui sont continues sur $X$ et dont le support est compact forment une algèbre sur ℝ (ou ℂ).

Cette algèbre est notée de façon assez diverse dans la littérature mathématique ; dans cet article elle sera notée C_c($X$).

Topologies sur C_c($X$)

Au moins trois topologies peuvent être considérées sur cet espace. Elles sont ici décrites de la plus grossière à la plus fine ; c'est cette dernière, la seule dont la définition repose spécifiquement sur la considération de fonctions à support compact, qui est considérée implicitement quand on ne précise pas à laquelle on se réfère.

Topologie de la convergence uniforme sur tout compact

Comme sous-ensemble de l'ensemble ℝ^$X$ de toutes les applications de X vers ℝ, C_c($X$) peut être muni de la topologie induite par la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de ℝ^$X$ ou, dit autrement, par la topologie compacte-ouverte sur l'espace des fonctions continues sur $X$, qu'on notera ici C($X$).

Formes linéaires continues sur C_c($X$)

Dans cette section, on met sur C_c($X$) la dernière des trois topologies décrites ci-dessus.