Saghraoui
Cet article a été ébauché dans le journal le Monde du 28/08/2007:
diviseurs communs de et de autre que 1?(n est un entier
naturel).
1-Pour n=0 , ,et,.Donc,2 est un diviseur commun.
2-a)LEMME: 11 est un diviseur commun de Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle 2^n+1et,de <math>3^n-1 pour ∀ n∈N avec n=5+10*k(où k∈N).''' b) Preuve(par récurrence sur k,donc,sur n): Ho: pour k=0,alors,n=5, <math>2^n} +1=+1=33=11*3
-1=-1=242=11*22
L'hypothèse Ho est vraie.
Hk:supposée vraie,donc,∃ α entier naturel non nul tel que:
2^(5+10*k)+1=11*α.......................(1)
∃ β entier naturel non nul tel que:
3^(5+10*k)-1=11*β........................(2)
H(k+1):
n=5+10*(k+1),
+1=2^(5+10*(k+1))+1
=2^(5+10*k+10)+1
=2^10*2^(5+10*k)<+1
=2^10*(11*α-1)+1 d'aprés (1)
=11*2^10*α+1-2^10
=11*2^10*α-1023
=11*2^10*α-11*93
=11*(2^10*α-93)
L'hypothèse H(k+1) est vraie.Donc,11 est un diviseur de +1 pour tout
n=5+10*k (k est un entier naturel).
On peut écrire aussi:
-1=3^(5+10*(k+1))-1
=3^( 5+10*k+10)-1
=3^10*3^(5+10*k)-1
=3^10*(11*β+1)-1
=11*3^10*β+3^10-1
=11*3^10*β+59048
=11*3^10*β+11*5368
=11*(3^10*β+5368)
L'hypothèse H(k+1) est vraie.Donc,11 est un diviseur de -1 pour ∀n∈N,avec
n=5+10*k (k ∈N)
conclusion:11 est un diviseur commun à +1,et,à -1 pour ∀n∈N avec n=5+10*k (k∈N)
3-a)LEMME: 13 est un diviseur commun de +1 et de ;pour ∀n∈N de la forme n=6+12*k,∀k∈N
b)Preuve:par récurrence sur k donc sur n(comme dans le §2).
--saghraoui 19 février 2008 à 21:12 (CET)M.Saghraoui 19/02/2008
4-Avec un logiciel performant,et,un ordinateur,nous arrivons à trouver d'autres diviseurs communs pour :
n=18;13*37 est un diviseur commun de +1 et de-1.
n=29;59 est un diviseur commun de +1 et de-1.
n=30;13*61 est un diviseur commun de +1 et de-1.
n=41;83 est un diviseur commun de +1 et de-1.
n=53;107 est un diviseur commun de +1 et de-1.
n=54;13*37*109 est un diviseur commun de +1 et de-1.
(à suivre...)