Po2yaourt

Formules utiles de mathématiques

Formules d'addition et de différence

$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\,$

$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\,$

$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\,$

$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\,$

$\tan(A-B)={\frac {\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}}\,$

$\tan(A+B)={\frac {\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}}\,$

Formules de l'arc moitié

En posant : $t=\tan {\frac {A}{2}}$, on a alors :

$\sin \ A={{2\,t} \over {1+t^{2}}}$

$\cos \ A={{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}$

$\tan \ A={{2\,t} \over {1-t^{2}}}$

Formules de développement et de factorisation

Développement

$\cos(a)\times \cos(b)={{\cos(a-b)+\cos(a+b)} \over 2}$

$\sin(a)\times \sin(b)={{\cos(a-b)-\cos(a+b)} \over 2}$

$\sin(a)\times \cos(b)={{\sin(a+b)+\sin(a-b)} \over 2}$

Factorisation

$\cos p+\cos q=2\cos \left({{p+q} \over 2}\right)\cos \left({{p-q} \over 2}\right)$

$\cos p-\cos q=-2\sin \left({{p+q} \over 2}\right)\sin \left({{p-q} \over 2}\right)$

$\sin p+\sin q=2\sin \left({{p+q} \over 2}\right)\cos \left({{p-q} \over 2}\right)$

$\sin p-\sin q=2\cos \left({{p+q} \over 2}\right)\sin \left({{p-q} \over 2}\right)$

Théorème d'Al-Kashi ou Loi des cosinus

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\cdot cos\ A$

Formulaire des D.L.

Développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 de fonctions usuelles :

• $(1+x)^{a}=1+ax+{\frac {a(a-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {a(a-1)(a-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +{\frac {a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}}x^{n}+o(x^{n})$

• ${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{n}+o(x^{n})$

• ${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots +(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})$

• $\ln(1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+o(x^{n+1})$

• $\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+o(x^{n+1})$

• $e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+o(x^{n})$

• $e^{ix}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}})+i(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}})$

• $\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+o(x^{2n+1})$

• $\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+o(x^{2n+2})$

• $\tan(x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots +{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}+o(x^{2n})$ où les $B_{n}$ sont les nombres de Bernoulli