Utilisateur:Michelbailly/projet project.

Sous-ensembles structurés, dessins et absence de coordonnées.

Mon gros chantier de longue haleine.

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Plans projectifs, une mathématique sans nombres, enfin presque. par quel bout peut-on aborder la géométrie projective? L'habitude de la fin du XXème siècle-début du XXIème c'est le choix entre 2 choses: compléter le plan affine, ou prendre un espace vectoriel de dim3 et le partitionner en vecteurs équivalents qui seront les « points » du plan projectif, d'où la représentation analytique en XYZ. J'ai choisi une autre voie, la géométrie projective étant par essence traitable juste avec la règle-non-graduée et le crayon. En effet la géométrie projective que n'est-ce pas? Elle ne connaît pas de distances ni d'angles, pas le parallélisme ni le milieu d'un segment, pas le segment d'ailleurs ni la demi-droite, pas les vecteurs, pas même les nombres; pas le cercle ni l'angle droit, pas de rayon de courbure, pas d'abscisse curviligne, pas de tangente conçue comme la limite d'une sécante; pas d'orientations gauche/droite, haut/bas, de sens de rotation trigonométrique/horlogique. Qu'est-ce? La géométrie des intersections de droites et d'incidences point/droite; ses concepts fondamentaux sont la dualité et la polarité, le rapport anharmonique, les projections, les involutions et les coniques. Je ne parle pas d'ordre historique d'apparition de ces concepts, mais du choix d'un bon ordre d'exposition logique des choses. Petite parenthèse, voir ci-dessous l'ordre historique.

La méthode que j'ai choisie est la méthode axiomatique: on pose des axiomes ou postulats, on en tire le plus possible de conséquences logiques, de propriétés, de théorèmes. Cette méthode de géométrie projective a été utilisée ou évoquée dans de nombreux ouvrages, par exemple Coxeter en anglais, Pierre Samuel en français, l'atlas des mathématiques (traduit de l'allemand, Livre de poche, 1997) ou comme Jacqueline Lelong-Ferrand (PUF, 1985). En général ces ouvrages sont minces car les auteurs sont concis, mais on trouve une mine de compléments dans des exercices de fin de chapitre. Je n'ai rien à inventer, tout a deja été écrit me semble-t-il, mon seul chantier consiste à savoir dans quel ordre je progresse dans l'exposé du puzzle pour présenter les propriétés bien connues des droites, des rapports anharmoniques, des coniques et des transformations à partir d'axiomes bien connus. Et puis quels formats standardisés pour découper et lier ces articles entre eux et avec d'autres articles géométriques.

Au passage s'il y a à faire le lien avec d'autres domaines géométriques plus classiques, je le ferai sous réserve que ça ne parasite pas trop la trajectoire d'un exposé; je fais allusion aux liens avec le plan affine, les vecteurs, le barycentre, le plan métrique, les distances et les angles. S'il ne fallait choisir qu'un rapprochement, le lien à ne pas louper est celui que l'on peut établir entre la définition axiomatique et les questions plus ou moins intuitives initialement soulevées par la figure fondamentale de perspective de Leo Battista Alberti, voir le catalogue de l'exposition « l'homme de la renaissance, Leon Battista Alberti et les arts à Florence entre raison et beauté », éditeur Maschietto, 2006, et bien d'autres livres où ce schéma est dessiné. Mais attention, Alberti et ses contemporains travaillaient uniquement dans le plan métrique euclidien, il n'ont pas inventé le plan projectif ni le plan affine, c'est nous qui, avec le recul, faisons le rapprochement entre cette figure et les questions de définitions de plans qui ont été soulevées depuis lors.

Ma progression d'exposition sera conforme aux recommandations. Ma progression logique partira d'un système d'axiomes minimalistes pour déboucher sur des axiomes de plus en plus puissants mais de plus en plus restrictifs. Les grandes étapes sont: plan projectif d'incidence, .............. plan projectif homogène. On passe d'un système à l'autre par une cascade de grands théorèmes. Avant-dernière question, la définition des coniques; il n'y a pas énormément de choix si on s'interdit les coordonnées, les distances, les angles et les corps commutatifs. Il reste juste, à ma connaissance, avec les outils des intersections et alignements le choix entre le quadrillage d'Alberti simplifié et l'hexagramme de Pascal ; j'ai choisi cette dernière option de définition tout en m'empressant de montrer que les deux sont équivalentes. Enfin, quid de la définition des tangentes aux coniques, et à quel stade? J'ai choisi de la faire dériver elle aussi de l'hexagramme de Pascal lorsqu'il est dégénéré en pentagramme; on aurait pu aussi dire que la tangente est un cas particulier de polaire, ce ne serait que reculer pour mieux sauter car comment définir la polaire par une construction uniquement à la règle? Par une construction de droite conjuguée harmonique bien sûr. Mais cette construction ne marche pas lorsque le point est sur la conique, d'où de nouvelles complications, donc il est préférable de parler d'une tangente indépendante de la polarité.

Note: l'ordre chronologique d'apparition de la géométrie projective fut à ma connaissance le suivant. Apollonius (III siècle AVJC) et de nombreuses propriétés des coniques+ Pappus et le rapport anharmonique (III siècle AVJC),ceux-ci restant dans dans le plan euclidien+ règles de perspective (projection d'un plan horizontal sur un plan vertical) de Leo Battista Alberti+ Descartes pour quelques équations cartésiennes de coniques+ Désargues avec l'involution et la perspective de 2 triangles+ Pascal avec l'hexagramme mystique et d'autres choses sans doute dans ses traités perdus+ de la Hire avec la notion de polaire+ Brianchon avec les théorème des 6 tangentes à une conique, Monge avec l'équation différentielle du cinquième ordre pour les coniques+ Poncelet pour la dualité, la transformation par polaire réciproque ainsi que le principe d'extension des propriétés aux complexes+ Chasles pour l'homographie+ Moebius pour les coordonnées homogènes et le calcul barycentrique+ la mise en évidence des groupes de transformation du plan par Félix Klein et ses collègues+ un sauvetage de la discipline par le Canadien Coxeter décédé en 2003.

Je compte aussi illustrer les théorèmes par un maximum de petites figures. Une grande partie des difficultés tient au « mapping », nous sommes physiquement obligés de dessiner une figure du plan projectif sur le plan de la feuille de papier ou sur l'écran de l'ordinateur qui ne sont que des parties du plan métrique euclidien; or le plan projectif n'est pas le plan euclidien! Si nous dessinons un être mathématique imaginaire, parmi des milliers d'autres tout aussi imaginaires, sur un support physique unique, le lecteur aura le plus grand mal à discerner quelles propriétés découlent de l'être imaginaire et quelles propriétés concernent le plan métrique ordinaire, le contenu se confond avec le récipient. C'est d'autant plus grave que le phénomène se produit dans le mauvais sens, c'est à dire pour filer la métaphore que le récipient plan métrique étant un sous-cas de plan projectif, plus restreint que le contenu plan projectif.

Mathématiques, géométrie, description plus précise.

En géométrie encyclopédique, j'essaie de courir plusieurs lièvres à la fois, au moins 5 ou 6, je vais peut-être me planter. Exposons-les dans mon ordre de préférence: Lièvre1) la géométrie avec des figures en priorité sur la géométrie avec des chiffres (géométrie analytique), chaque fois que c'est possible. Lièvre2) une démarche multi-niveaux-de-lecteurs, depuis le lecteur qui connaît juste la géométrie "naïve" du plan euclidien jusqu'au lecteur qui demande un peu de rigueur universitaire, niveau bac+n. Lièvre3) Illustrer un concept avec une construction si possible, avec des figures ou des démos en position de repli. Lièvre4) montrer au lecteur qu'on peut, en géométrie, imaginer d'autres univers possibles que le bon vieux robuste plan métrique pré-XIXème siècle. Lièvre5), mais comme divers systèmes d'axiomes sont possibles, favoriser (Lièvre1) un éventuel système d'axiomes qui repousse au plus tard possible l'emploi de nombres ou d'espaces vectoriels, de corps, de groupes. Exemples:

La géométrie avec des figures en priorité

La géométrie avec des figures en priorité sur la géométrie avec des chiffres (géométrie analytique), chaque fois que c'est possible. Qu'est-ce que cela signifie? Simplement qu'il s'agit d'une préférence personnelle, je trouve que l'emploi systématique de la géométrie analytique empêche parfois de réfléchir aux causes réelles d'une propriété que l'on démontrerait avec élégance sans recours aux multiplications et additions de nombres réels. Les plans projectifs avec calculs analytiques sont confinés, autant que faire se peut, en Axiomes de plans projectifs/homogènes et Axiomes de plans projectifs/barycentriques.

Exemples typiques

Exemple typique, le théorème de Pappus que l'on peut vérifier en calculant 3 intersections de droites et en vérifiant qu'elles sont bien alignées, en coordonnées cartésiennes affines, et alors, on n'a rien compris au concept de configuration pappusienne. En revanche, je connais parfaitement l'utilité de calculs de coordonnées, par un processeur ultra rapide, dans les systèmes de DAO. Et j'ai la plus grande admiration et le plus grand respect pour les contributeurs à OpenGL qui travaillent en coordonnées homogènes. Mais pour aborder la géométrie, je préfère la démarche du dessin de figures, et qu'on se pose la question: "pourquoi diantre cette propriété est-elle vraie?". Un autre exemple que je souhaiterai voir traité sur wikipédia est la conformité dans la Projection stéréographique. Le lecteur lit: "Les angles sont conservés pendant la transformation", et bien sûr, un bon matheux analytique pourrait vérifier cela avec une ribambelle de calculs sur la sphère et sur le plan, mais là, la méthode géométrique "pure" est plus simple et plus satisfaisante. Rem: je dis géométrie "pure", je sais que cela fait hurler certains ayatohlas, bon, disons la géométrie "synthétique".

Dessinabilité: difficulté de trouver des exemples dessinables

En géométrie projective actuellement je me creuse la tête pour trouver des figures qui illustreraient certaines notions, enfin je veux dire des figures dessinables, en dehors de R^3prolongé. Plusieurs sortes de difficultés: Trouver des plans projectifs peu peuplés mais suffisamment: j'ai le plan de Fano à 7 points et 7 droites, qui est le plus petit possible, je peux trouver un plan à environ 26 points ou à environ 63 points, ce qui est intéressant pour faire des petits exemples. Cependant il faut tout de même un nombre assez important de points et de droites pour qu'un théorème et sa démonstration ne soient pas dégénérés, par exemple pour la démo du Théorème d'Hessenberg j'ai besoin d'au moins 14 points distincts visibles dans mon plan, pour la démonstration du quadrillage complet dans un plan projectif pappusien (Traité projectif des coniques/Dans un plan pappusien) j'ai besoin d'au moins 19 points, et il faut que ces points soient visibles sur la feuille de papier que les lignes droites ne soient pas trop tordues. Et quand je parle de la feuille je parle d'un petit rectangle de 300pixels de côté environ. Une grosse difficulté est l'illustration des plans arguésiens-non-pappusiens. En effet, l'xemple classique est le plan projectif basé sur les quaternions, H^3prolongé. Mais on ne peut pas vraiment dessiner un point hypercomplexe sur la feuille de papier réelle. Deja, pour le plan pappusien on peut illustrer R^3prolongé, mais pas C^3prolongé à cause de la dimension imaginaire des nombres, en réalité on peut seulement dessiner C^1 sur un papier. Alors voilà, je suis à l'affut des exemples de structures de plans projectifs un peu plus modestes que C^3 ou R^3 et qui respecteraient certains axiomes mais pas d'autres.

Une démarche multi-niveaux-de-lecteurs,

C'est une démarche progressive. Démarche multi-niveaux-de-lecteurs, depuis le lecteur qui connaît juste la géométrie "naïve" jusqu'au lecteur qui demande un peu de rigueur universitaire, niveau bac+n. Nous sommes dans une encyclopédie munie d'ambitions d'éducation populaire. Alors il faut bien prendre le lecteur naïf tel qu'il est et le conduire vers la découverte de choses d'un niveau un peu plus abstrait. Par exemple, voir Construction d'un cercle point par point/Premier exemple/Méthode des chemins de fer je pratique un peu le teasing. Je suppose que tout le monde connaît le cercle et sait le dessiner au compas.

• Le premier titre peut intriguer (pourquoi diable construire un cercle point par point alors qu'avec le compas c'est si facile?),
• le deuxième titre aussi , qu'est-ce que cette méthode des chemins de fer? Ensuite, si le lecteur s'accroche, même au niveau brevet il peut vérifier que cette méthode SNCF marche, il ignore pourquoi, mais il peut essayer de comprendre la suite.
• Un matheux un peu aguerri lira ensuite la démonstration par l'angle droit au point P. Jusque là, tout va bien nous sommes dans la géométrie euclidienne avec ses distances et ses angles droits.
• Mais ensuite, nouveau teasing, j'aborde le lecteur bac S, nourri au biberon de la géométrie analytique, avec une fonction homographique appliquée à la géométrie.

Illustrer un concept avec une construction si possible

C'est un peu la même chose, un bon dessin vaut mieux que de longs discours. Le concept d'homographie se comprend mieux, à mon avis, avec des dessins de cercles ou de paraboles qu'avec une équation y=(ax+b)/cx+d). Ou bien, le concept de plan affine se comprend mieux avec le dessin d'un parallélogramme qu'avec une définition à partir d'un espace vectoriel sur un corps K.

Montrer au lecteur qu'on peut, en géométrie, imaginer d'autres univers possibles

Deux facteurs se conjuguent, d'abord la perception "na¨ve" euclidienne de notre espace, ensuite l'existence d'outils informatiques de dessin en géométrie analytique, même sur certaines calculettes. Le jeune ou moins jeune scientifique peut s'imaginer qu'il n'y a qu'une gémétrie possible. Pour démentir ce fait, on peut bien sûr raconter la révolution einsteinienne, mais à ce moment on mélange physique et maths. Je propose l'alternative suivante: trouver d'autres structures de plans, en jouant seulement sur les axiomes. Au lecteur d'employer tantôt un cheminement, tantôt un autre.

Adopter une démarche axiomatique

Pour deux raisons

Différence avec les sciences physiques

C'est assez connu, mais il faut tout de même en parler. L'idée sous-jacente est de dire au lecteur quelle est la différence fondamentale entre les maths et les sciences physiques. Tout ceci parce qu'on peut aller jusqu'à bac+2, j'ai des tas d'exemples de copains à qui c'est arrivé, sans qu'aucune personne (prof ou autre) ne vous ait expliqué cela. Il y a même des gens qui, en cours de philo de terminale sont passés à travers les mailles du filet sur la démarche expérimentale en sciences physiques. Ils n'en meurent certes pas, mais pourquoi ne pas leur donner une piste à l'occasion d'une navigation sur une encyclopédie populaire? Cela va même plus loin, beaucoup ignorent le statut d'une hypothèse en sciences physiques. Certains veulent, souhaitent des certitudes (ex: la théorie du BIG-BANG est vraie, elle a détrôné la théorie erronée de ceci ou cela) ou (la théorie de la relativité est VRAIE, elle a détrôné la FAUSSE théorie physique newtonienne). Encore pire, certains pensent que le statut d'hypothèse en physique est le même que le statut d'un axiome en maths. Bon, enfin, je ne m'étends pas, j'ai ds copains qui s'occupent de clubs ou d'assocs de vulgarisation scientifique et qui peuvent raconter des milliers d'exemples de ce type. Alors j'illustre la méthode axiomatique par l'exposé des Axiomes de plans projectifs.

Priorité à la démarche minimaliste

Pour intéresser le lecteur, de niveau lycée ou de niveau plus haut, pourquoi lui proposer des choses lourdes alors qu'avec un bagage minimaliste on peut avancer? Par exemple, la construction du milieu d'un segment. Le premier réflexe du lecteur moyen sera de prendre sa règle graduée et de calculer la position du point situé à la moitié de la longueur. Bon, mais ceci veut dire que l'on utilise les connaissances de la géométrie métrique et qu'on ne cherche pas à voir plus loin. En gros on peut se contenter de la géométrie "naturelle" qu'est la géométrie euclidienne. Un lecteur un peu plus raffiné remarquera que, si on n'a pas de règle graduée, on peut se servir du compas et de la règle, tracer la médiatrice puis en déduire le milieu.

Pourquoi ajouter un complément à ce que l'on connaît mal?

Pour résumer mon idée, le complément c'est la droite de l'infini, ce que l'on connaît mal c'est le plan affine.

Il s'agit d'une question bien précise: l'articulation entre plan affine et plan projectif, comment l'aborder dans une encyclopédie qui sera parcourue par divers lecteurs de manière aléatoire? Mon avis personnel est que l'approche de certains qui partent du plan affine et le complètent est la pire approche explicative. En effet, le plan affine est assez compliqué à expliquer, les gens le connaissent mal, font mal la nuance entre le plan affine et le plan euclidien de l'école primaire. On ne sait pas bien dire quelles sont les propriétés communes aux deux sortes de plans (ex: parallélisme, parallélogrammes, translations) ni dire quelles sont les concepts appartenant au plan euclidien et sans objet pour le plan affine (ex: angles droits, cercles, rotations). Voilà déjà 2 êtres mathématiques et 1 différentiation à maîtriser. Pour expliquer le plan projectif, donc un 3ème être mathématique, certains partent du plan affine et lui ajoutent des sortes de verrues (les "points à l'infini" et la "droite de l'infini") qui ne font pas partie du plan affine ni du plan euclidien.

Ce qui fait que le lecteur est complètement embrouillé car, avec 3 sortes de plans, voilà maintenant 3 êtres mathématiques et 3 différentiations à penser simultanément.

C'est pourquoi je préfère exposer tout de suite le plan projectif-sans-plus, ex-nihilo, avec des propriétés de points et de droites illustrées par des petits dessins, surtout sans référence au plan euclidien de l'école primaire, sans coordonnées cartésiennes ni homogènes; j'évite les difficultés en disant que dans un plan projectif-tout-court les notions de distance, de vecteurs, de segments, de demi-droites, d'angles, de cercles, de rotations, de translations n'existent pas, seuls existent les alignements et les intersections. Nota : quand je dis que l'on connaît mal le plan affine, je caricature un peu, mais enfin, soyons réalistes, personne n'a entendu parler de plan affine avant bac+1, et ceux qui en ont entendu parler post-bac n'ont probablement pas eu beaucoup de temps à lui consacrer, ils le connaissent mal. Certains savent le définir à partir d'un Espace Vectoriel, la plupart savent le définir à partir de coordonnées cartésiennes dans K², K étant un corps commutatif. Reconnaissons que c'est tout de même plus simple pour le lecteur papillonnant de prendre connaissance d'un seul type d'être mathématique par le biais de petits dessins de propriétés de points et de droites.