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En algèbre, et notamment dans la théorie des demi-groupes, un demi-groupe complètement simple est un demi-groupe simple qui possède un idéal à gauche minimal est un idéal à droite minimal. Un demi-groupe complètement 0-simple est un demi-groupe 0-simple qui possède un idéal à gauche 0-minimal est un idéal à droite 0-minimal.

Un demi-groupe de matrices de Rees est un demi-groupe particulier. Il est complètement simple ou complètement 0-simple selon qu'il possède ou non un zéro, et réciproquement, tout demi-groupe simple ou complètement simple peut se représenter sous cette forme. On dispose ainsi d'une description explicite de la structure de cette famille de demi-groupes.

Ce théorème de structure a été démontré par David Rees en 1940. Pour les demi-groupes finis et sans zéro, le résultat analogue, publié en 1928, est dû à Anton Suschkewitsch. Ce théorème marque le début de la théorie des demi-groupes. Le théorème s'emploie pour la description de l'idéal minimal ou 0-minimal d'un demi-groupe. À son tour, ceci a des applications importante dans la théorie algébrique des automates finis puisque les propriétés algébriques sont concentrées dans l'idéal minimal du monoïde syntaxique.

Idéal minimal et 0-minimal

Un idéal à gauche (à droite, bilatère) d'un demi-groupe $S$ est minimal s'il est non vide et s'il ne contient pas proprement un idéal à gauche (à droite, bilatère) de $S$.

Un idéal à gauche minimal $L$ vérifie $L=S^{1}a$ pour tout $a\in L$, et est donc une ${\mathcal {L}}$-classe pour la relation de Green ${\mathcal {L}}$. De même, un idéal à droite (bilatère) minimal est une ${\mathcal {R}}$-classe (une ${\mathcal {J}}$-classe). Un demi-groupe a au plus un idéal minimal bilatère; s'il existe, il est appelé le noyau du demi-groupe.

Un idéal à gauche (à droite, bilatère) d'un demi-groupe $S$ avec zéro est 0-minimal s'il est non vide, différent de $\{0\}$ et ne contient pas proprement un idéal à gauche (à droite, bilatère) de $S$. Un idéal à gauche 0-minimal $L$ vérifie $L=S^{1}a$ pour tout $a\in L$, $a\neq 0$ et est donc constitué des deux ${\mathcal {L}}$-classes $L\setminus \{0\}$ et $\{0\}$. De même, un idéal à droite (bilatère) 0-minimal consiste en $\{0\}$ et une ${\mathcal {R}}$-classe (une ${\mathcal {J}}$-classe) sans zéro.

Idéal minimal et et demi-groupe simple

L'idéal minimal d'un demi-groupe, s'il existe, est un demi-groupe simple.

Un idéal 0-minimal $I$ d'un demi-groupe avec zéro est soit de carré nul ($I^{2}=0$), soit un demi-groupe 0-simple.

Idéal minimal et et demi-groupe complètement simple

Si $S$ est un demi-groupe complètement 0-simple, alors $S$ est l'union de ses idéaux à gauche 0-minimal, et l'union de ses idéaux à droite 0-minimaux; pour tout idéal 0-minimal à gauche $L$ et tout idéal 0-minimal à droite $R$, on a $L\cap R\neq 0$. De plus, pour tout idéal 0-minimal à gauche $L$, il existe un idéal 0-minimal à droite $R$ tel que $(L\cap R)^{2}\neq 0$, et dans ce cas, l'intersection $R\cap L\setminus 0$ est un groupe.

Si $S$ est un demi-groupe complètement 0-simple, alors $S\setminus 0$ est en fait une seule ${\mathcal {D}}$-classe (et pas seulement une ${\mathcal {J}}$-classe). Un demi-groupe $S$ avec zéro est 0-bisimple si $S\setminus 0$ est constitué d'une seule ${\mathcal {D}}$-classe. Un demi-groupe est bisimple s'il est constitué d'une seule ${\mathcal {D}}$-classe. Ainsi, un demi-groupe complètement 0-simple est 0-bisimple et régulier.

Un demi-groupe complètement simple est l'union de ses sous-groupes maximaux.

Un demi-groupe complètement simple commutatif est un groupe. Un demi-groupe complètement 0-simple commutatif est un groupe avec un zéro ajouté.

Un demi-groupe non vide $S$ sans zéro est complètement simple si et seulement si $S^{0}$ est complètement 0-simple : ici $S^{0}$ est le demi-groupe obtenu en ajoutant à $S$ un nouvel élément $0$ qui joue le rôle d'un zéro, c'est-à-dire tel que $s0=0s=0$ pour tout $s\in S\cup 0$.

Demi-groupe de matrices de Rees

Soit $G$ un groupe, soient $I$ et $\Lambda$ deux ensembles non vides, et soit $P=(p_{\lambda ,i})_{i\in I,\lambda \in \Lambda }$ une matrice à entrée dans $G^{0}$ ($G^{0}$ est le groupe $G$ avec un zéro ajouté). L'ensemble

$I\times G^{0}\times \Lambda$

est muni d'une structure de demi-groupe en posant, pour $i,j\in I,g,h\in G^{0},\lambda ,\mu \in \Lambda$ :

$(i,g,\lambda )(j,h,\mu )=(i,gp_{\lambda ,j}h,\mu )$.

L'associativité est facile à vérifier. De plus, $I\times \{0\}\times \Lambda$ est un idéal de ce monoïde.

Le demi-groupe de matrices de Rees (Rees matrix semigroup en anglais) $M^{0}(G;I,\Lambda ;P)$ avec matrice sandwich $P$ est le quotient de Rees

$M^{0}(G;I,\Lambda ;P)=I\times G^{0}\times \Lambda /I\times \{0\}\times \Lambda$ .

Les éléments de $M^{0}(G;I,\Lambda ;P)$ sont les triples $(i,g,\lambda )$ avec $g\neq 0$ et un zéro qui peut être écrit sous la forme $(i,0,\lambda )$, pour n'importe quels $i\in I,\lambda \in \Lambda$.

Comme le nom l'indique, ce demi-groupe peut être vu comme un demi-groupe de matrices. Pour cela, on muni d'abord $G^{0}$ d'une structure de demi-anneau en définissant une addition par $g+g'=0$ pour tout $g,g'$ dans $G^{0}$. La multiplication est distributive par rapport à cette addition puisque

$0=(g+g')h=gh+g'h=0$ et $0=h(g+g')=hg_{h}g'=0$.

Chaque élément (i,g,\lambda) est identifié à une $I\times \Lambda$-matrice dont tous les éléments son nuls sauf celui d'indices $i,\lambda$ qui est égal à $g$. Le zéro est identifié à la matrice nulle. Le produit de la matrice $X$ par la matrice $Y$ est la matrice $XPY$.

Demi-groupe de Brandt

Un exemple de demi-groupe de matrices de Rees est fourni par les demi-groupes de Brandt. Un tel demi-groupe est un demi-groupe de matrices de Rees où $I=\Lambda$ et où la matrice sandwich $P$ est la matrice identité. Le produit est donc défini par

$(i,g,\lambda )(j,h,\mu )={\begin{cases}(i,gh,\mu )&{\text{si }}\lambda =j\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$

Un demi-groupe de Brandt apériodique est un demi-groupe de Brandt dont le groupe est trivial. Un tel demi-groupe s'identifie aux matrices carrés sur 0 et 1 ayant au plus une entrée non nulle.

Un d

Notes et références

Bibliographie

Les deux articles de base sont l'article de Rees :

• (en) David Rees, « On semi-groups », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 36, n^o 4,‎ 1940, p. 387-400 (DOI 10.1017/S0305004100017436)

et l'article d'Anton Suschkewitsch :

• (de) Anton Kazimirovich Suschkewitsch, « Ü̈ber die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit », Mathematische Annalen, vol. 99,‎ 1928, p. 30-50 (lire en ligne)

Une discussion détaillée est donnée, avec une large bibliographie, dans

• (en) Christopher Hollings, « The early development of the algebraic theory of semigroups », Arch. Hist. Exact Sci. (2009), vol. 63,‎ 2009, p. 497–536 (DOI 10.1007/s00407-009-0044-3)

Le théorème de Rees est exposé dans les livres classiques de théorie des demi-groupes.

• (en) Pierre Antoine Grillet, Semigroups : An introduction to the structure theory, Marcel Dekker, coll. « Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics » (n^o 193), 1995, xii+398 (ISBN 0-8247-9662-4, MR 2000g:20001)