Utilisateur:Julien le.../Brouillon/Semi-groupe

Un semi-groupe est un objet mathématique généralisant dans le cadre des équations aux dérivées partielles (edp) l'exponentielle de matrice. L'existence et la régularité des solutions d'une edp linéaire peuvent être obtenues en étudiant certaines propriétés du semi-groupe engendré par l'opérateur différentiel apparaissant dans l'edp considérée.

Parallèle avec les équations différentielles ordinaires

L'équation différentielle linéaire sur $\mathbb {R} ^{n}$ ($n\geq 1$)

${\begin{cases}{\dfrac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}y(t)&=Ay(t),\\y(0)&=y^{0},\end{cases}}$

pour $A$ une matrice carrée de taille $(n,n)$ et $y^{0}$ un vecteur de $\mathbb {R} ^{n}$ admet une unique solution $y$ vecteur de $\mathbb {R} ^{n}$ donnée par

$y(t)={\mbox{e}}^{tA}y^{0}$

où ${\mbox{e}}^{tA}$ est l'exponentielle de la matrice $A$.

Dans le cadre des équations aux dérivées partielles linéaires, on verra dans l'exemple plus bas que l'équation de la chaleur sur un domaine ouvert borné $\Omega$ de $\mathbb {R} ^{n}$ avec condition de Dirichlet homogène sur le bord $\partial \Omega$ de $\Omega$ s'écrit également

${\begin{cases}{\dfrac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}y(t)&=Ay(t),\\y(0)&=y^{0},\end{cases}}$

où cette fois $A$ est l'opérateur Laplacien à domaine $D(A)=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$ (si la frontière est assez régulière) dans l'espace $H=L^{2}(\Omega )$. Alors, pour $y^{0}$ dans $H$, il existe une unique solution $y$ donnée par

$y(t)={\mbox{e}}^{tA}y^{0}$

où cette fois ${\mbox{e}}^{tA}$ est le semi-groupe engendré par l'opérateur $A$. Il reste maintenant à donner un sens à cette écriture.

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Catégorie:Équation aux dérivées partielles

en:C0-semigroup de:Stark stetige Halbgruppe nl:Eenparameter-halfgroep van operatoren ja:C0半群