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En théorie cinétique des gaz , la loi de distribution de vitesses de Maxwell quantifie la répartition des vitesses entre les différentes particules dans un gaz à l'équilibre thermodynamique global à la température uniforme, cette répartition étant exponentielle.
Méthode 1 : densités de probabilité
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Etablissement de l'équation différentielle
modifier
La vitesse d'une particule prise au hasard et
v
→
0
=
(
v
x
0
,
v
y
0
,
v
z
0
)
{\displaystyle {\vec {v}}_{0}=(v_{x0},v_{y0},v_{z0})}
La probabilité que la composante
v
x
0
{\displaystyle v_{x0}}
x
{\displaystyle x}
v
x
{\displaystyle v_{x}}
v
x
+
d
v
{\displaystyle v_{x}+\mathrm {d} v}
densité de probabilité de
v
x
{\displaystyle v_{x}}
P
[
v
x
⩽
v
x
0
<
v
x
+
d
v
]
=
f
(
v
x
)
d
v
x
{\displaystyle \mathbb {P} [v_{x}\leqslant v_{x0}<v_{x}+\mathrm {d} v]=f(v_{x})\,\mathrm {d} v_{x}}
Les variables aléatoires
v
x
{\displaystyle v_{x}}
v
y
{\displaystyle v_{y}}
v
z
{\displaystyle v_{z}}
indépendantes et on peut alors écrire la probabilité, en ajoutant des conditions similaires sur
v
y
{\displaystyle v_{y}}
v
z
{\displaystyle v_{z}}
d
3
P
[
v
→
0
≃
v
→
]
=
d
3
P
(
v
→
)
=
P
[
(
v
x
⩽
v
x
0
<
v
x
+
d
v
x
)
∩
(
v
y
⩽
v
y
0
<
v
y
+
d
v
y
)
∩
(
v
z
⩽
v
z
0
<
v
z
+
d
v
z
)
]
{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left[{\vec {v}}_{0}\simeq {\vec {v}}\right]=\mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=\mathbb {P} [\left(v_{x}\leqslant v_{x0}<v_{x}+\mathrm {d} v_{x}\right)\cap \left(v_{y}\leqslant v_{y0}<v_{y}+\mathrm {d} v_{y}\right)\cap \left(v_{z}\leqslant v_{z0}<v_{z}+\mathrm {d} v_{z}\right)]}
d
3
P
(
v
→
)
=
f
(
v
x
)
d
v
x
f
(
v
y
)
d
v
y
f
(
v
z
)
d
v
z
{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=f(v_{x})\,\mathrm {d} v_{x}\,f(v_{y})\,\mathrm {d} v_{y}\,f(v_{z})\,\mathrm {d} v_{z}}
d
3
P
(
v
→
)
=
P
(
v
→
)
d
v
x
d
v
y
d
v
z
{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=P({\vec {v}})\,\mathrm {d} v_{x}\,\mathrm {d} v_{y}\,\mathrm {d} v_{z}}
d'où l'expression de la densité de probabilité pour une vitesse vectorielle, c'est à dire pour une norme donnée et une direction donnée :
P
(
v
→
)
=
f
(
v
x
)
f
(
v
y
)
f
(
v
z
)
{\displaystyle P({\vec {v}})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})}
En n'oubliant pas que
v
2
=
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
{\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}
v
x
{\displaystyle v_{x}}
∂
P
(
v
→
)
∂
v
x
=
d
P
(
v
→
)
d
v
2
∂
v
2
∂
v
x
=
2
v
x
d
P
(
v
→
)
d
v
2
{\displaystyle {\frac {\partial P\left({\vec {v}}\right)}{\partial v_{x}}}={\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial v_{x}}}=2v_{x}{\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}}
et d'autre part :
∂
P
(
v
→
)
∂
v
x
=
f
(
v
x
)
d
v
x
f
(
v
y
)
f
(
v
z
)
=
d
v
x
2
d
v
x
f
(
v
x
)
d
v
x
2
f
(
v
y
)
f
(
v
z
)
=
2
v
x
f
(
v
x
)
d
v
x
2
f
(
v
y
)
f
(
v
z
)
=
2
v
x
f
(
v
x
)
d
v
x
2
P
(
v
→
)
f
(
v
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial P\left({\vec {v}}\right)}{\partial v_{x}}}={\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}}}f(v_{y})f(v_{z})={\frac {\mathrm {d} v_{x}^{2}}{\mathrm {d} v_{x}}}{\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}f(v_{y})f(v_{z})=2v_{x}{\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}f(v_{y})f(v_{z})=2v_{x}{\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}{\frac {P({\vec {v}})}{f(v_{x})}}}
En identifiant les deux relations qui précèdent,
d
P
(
v
→
)
d
v
2
=
f
(
v
x
)
d
v
x
2
P
(
v
→
)
f
(
v
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}={\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}{\frac {P({\vec {v}})}{f(v_{x})}}}
et puisque les mêmes relations peuvent être obtenues en dérivant selon n’importe quelle composante :
1
P
(
v
→
)
d
P
(
v
→
)
d
v
2
=
1
f
(
v
x
)
d
f
(
v
x
)
d
v
x
2
=
1
f
(
v
y
)
d
f
(
v
y
)
d
v
y
2
=
1
f
(
v
z
)
d
f
(
v
z
)
d
v
z
2
=
c
t
e
{\displaystyle {\frac {1}{P({\vec {v}})}}{\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}={\frac {1}{f(v_{x})}}{\frac {\mathrm {d} f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}={\frac {1}{f(v_{y})}}{\frac {\mathrm {d} f(v_{y})}{\mathrm {d} v_{y}^{2}}}={\frac {1}{f(v_{z})}}{\frac {\mathrm {d} f(v_{z})}{\mathrm {d} v_{z}^{2}}}=\mathrm {cte} }
Expression de
f
(
v
x
)
{\displaystyle f(v_{x})}
modifier
On obtient une équation différentielle du premier ordre sans second membre , ce qui constitue un cas très simple :
d
f
(
v
x
)
d
v
x
2
+
B
f
(
v
x
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}+B\,f(v_{x})=0}
La solution est de la forme
f
(
v
x
)
=
A
e
−
B
v
x
2
{\displaystyle f(v_{x})=A\,\mathrm {e} ^{-B\,v_{x}^{2}}}
En intégrant sur l'ensemble des
v
x
{\displaystyle v_{x}}
∫
−
∞
∞
A
e
−
B
v
x
2
d
v
x
=
A
π
B
=
1
⇒
A
=
B
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }A~\mathrm {e} ^{-B\,v_{x}^{2}}\mathrm {d} v_{x}=A\,{\sqrt {\frac {\pi }{B}}}=1\quad \Rightarrow \quad A={\sqrt {\frac {B}{\pi }}}}
La vitesse quadratique moyenne s'exprime :
⟨
v
x
2
⟩
=
A
∫
−
∞
+
∞
v
x
2
e
−
B
v
x
2
d
v
x
=
A
1
2
π
B
3
{\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle =A\int _{-\infty }^{+\infty }\!\!\!v_{x}^{2}\,\mathrm {e} ^{-B\,v_{x}^{2}}\,\mathrm {d} v_{x}=A{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{B^{3}}}}}
⟨
v
x
2
⟩
=
B
π
1
2
π
B
3
=
1
2
B
{\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\sqrt {\frac {B}{\pi }}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{B^{3}}}}={\frac {1}{2B}}}
Or si on considère que l'énergie thermique n'est due qu'à l'énergie cinétique sur un seul degré de liberté (selon
x
{\displaystyle x}
1
2
m
⟨
v
x
2
⟩
=
1
2
k
B
T
=
1
2
m
1
2
B
{\displaystyle {\frac {1}{2}}m\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}m{\frac {1}{2B}}}
On en déduit l’expression :
B
=
m
2
k
B
T
{\displaystyle B={\frac {m}{2k_{B}T}}}
A
=
(
m
2
π
k
B
T
)
1
/
2
{\displaystyle A=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{1/2}}
Alors
f
(
v
x
)
=
(
m
2
π
k
B
T
)
1
/
2
e
−
m
2
k
B
T
v
x
2
{\displaystyle f(v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{1/2}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {m}{2k_{B}T}}v_{x}^{2}}}
Expression de
P
(
v
→
)
{\displaystyle P({\vec {v}})}
P
v
(
v
)
{\displaystyle P_{v}(v)}
modifier
La densité de probabilité pour une vitesse donnée dans une direction donnée est donc :
P
(
v
→
)
=
f
(
v
x
)
f
(
v
y
)
f
(
v
z
)
=
(
m
2
π
k
B
T
)
3
/
2
e
−
m
2
k
B
T
v
2
{\displaystyle P({\vec {v}})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {m}{2k_{B}T}}v^{2}}}
Si on s'intéresse à la densité de probabilité pour une vitesse de norme de donnée quelle que soit la direction, il faut intégrer sur l'ensemble des direction et l'utilisation des coordonnées sphériques s'impose.
d
3
P
(
v
→
)
=
P
(
v
→
)
d
v
x
d
v
y
d
v
z
=
P
(
v
→
)
v
2
d
v
sin
θ
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=P({\vec {v}})\,\mathrm {d} v_{x}\,\mathrm {d} v_{y}\,\mathrm {d} v_{z}=P({\vec {v}})\,v^{2}\mathrm {d} v\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
d
P
(
v
)
=
P
(
v
→
)
v
2
d
v
∫
0
π
sin
θ
d
θ
∫
0
2
π
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbb {P} \left(v\right)=P({\vec {v}})\,v^{2}\mathrm {d} v\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi }
d
P
(
v
)
=
P
(
v
→
)
4
π
v
2
d
v
=
P
v
(
v
)
d
v
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbb {P} \left(v\right)=P({\vec {v}})\,4\pi \,v^{2}\mathrm {d} v=P_{v}(v)\,\mathrm {d} v}
La densité de probabilité pour une vitesse de norme donnée est donc :
P
v
(
v
)
=
(
m
2
π
k
B
T
)
3
/
2
4
π
v
2
e
−
m
2
k
B
T
v
2
{\displaystyle P_{v}(v)=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}4\pi \,v^{2}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {m}{2k_{B}T}}v^{2}}}
Méthode 2 : utilisation de la physique statistique
modifier
En physique statistique, on est capable de calculer la loi de distribution de Maxwell-Boltzmann à l'aide de la densité de probabilité canonique que l'on note
P
(
p
i
,
q
i
)
{\displaystyle P(p_{i},q_{i})}
p
i
=
m
v
i
{\displaystyle p_{i}=mv_{i}}
q
i
{\displaystyle q_{i}}
i
{\displaystyle i}
H
=
E
c
=
∑
i
=
1
3
p
i
2
2
m
=
p
2
2
m
{\displaystyle {\mathcal {H}}=E_{c}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}={\frac {p^{2}}{2m}}}
où
p
→
=
m
v
→
{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
mécanique hamiltonienne . La probabilité d'un état est fonction de son énergie qui est fonction des positions et impulsions des particules
H
(
{
q
}
,
{
p
}
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\left\{q\right\},\left\{p\right\}\right)}
(
{
q
}
,
{
p
}
)
{\displaystyle \left(\left\{q\right\},\left\{p\right\}\right)}
La densité de probabilité d'un état dans l'ensemble canonique est donnée par :
P
(
H
)
=
e
−
β
H
Z
=
1
Z
e
−
β
p
2
2
m
{\displaystyle P\left({\mathcal {H}}\right)={\frac {e^{-\beta {\mathcal {H}}}}{Z}}={\frac {1}{Z}}\mathrm {e} ^{-\beta {\frac {p^{2}}{2m}}}}
en posant
β
=
1
/
k
B
T
{\displaystyle \beta =1/k_{B}T}
Z
{\displaystyle Z}
Z
=
∫
e
−
β
H
d
f
p
{\displaystyle Z=\int \mathrm {e} ^{-\beta {\mathcal {H}}}\,\mathrm {d} ^{f}p}
Z
=
∏
k
=
1
3
∫
−
∞
∞
e
−
β
p
i
2
2
m
d
p
i
=
(
2
π
m
β
)
3
/
2
{\displaystyle Z=\prod _{k=1}^{3}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\beta {\frac {p_{i}^{2}}{2m}}}\,\mathrm {d} p_{i}=\left({\frac {2\pi m}{\beta }}\right)^{3/2}}
La densité de probabilité s'exprime alors :
P
(
p
→
)
=
e
−
β
H
Z
=
(
1
2
π
m
k
B
T
)
3
/
2
e
−
p
2
2
m
k
B
T
{\displaystyle P\left({\vec {p}}\right)={\frac {e^{-\beta {\mathcal {H}}}}{Z}}=\left({\frac {1}{2\pi mk_{B}T}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-{\frac {p^{2}}{2mk_{B}T}}}}
Nous voulons la densité de probabilité du module de la vitesse. Il est alors commode d'exprimer l'énergie en fonction des modules des impulsions
p
2
=
∑
i
=
0
3
p
i
2
{\displaystyle \textstyle p^{2}=\sum _{i=0}^{3}p_{i}^{2}}
p
→
{\displaystyle {\vec {p}}}
d
3
P
(
p
→
)
=
P
(
p
→
)
d
p
x
d
p
y
d
p
z
=
P
(
p
→
)
p
2
d
p
sin
θ
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {p}}\right)=P({\vec {p}})\,\mathrm {d} p_{x}\,\mathrm {d} p_{y}\,\mathrm {d} p_{z}=P({\vec {p}})\,p^{2}\mathrm {d} p\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
d
P
(
p
)
=
P
(
p
→
)
4
π
p
2
d
p
=
4
π
p
2
(
2
π
m
k
B
T
)
3
/
2
e
−
p
2
2
m
k
B
T
d
p
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbb {P} \left(p\right)=P({\vec {p}})\,4\pi \,p^{2}\mathrm {d} p={\frac {4\pi \,p^{2}}{\left(2\pi mk_{B}T\right)^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {p^{2}}{2mk_{B}T}}}\mathrm {d} p}
Pour obtenir
P
v
(
v
)
{\displaystyle P_{v}(v)}
p
=
m
v
{\displaystyle p=mv}
d
P
(
v
)
=
P
v
(
v
)
d
v
=
d
P
(
p
)
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbb {P} \left(v\right)=P_{v}(v)\,\mathrm {d} v=\mathrm {d} \mathbb {P} \left(p\right)}
P
v
(
v
)
d
v
=
4
π
p
2
(
2
π
m
k
B
T
)
3
/
2
e
−
p
2
2
m
k
B
T
d
p
{\displaystyle P_{v}(v)\mathrm {d} v={\frac {4\pi \,p^{2}}{\left(2\pi mk_{B}T\right)^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {p^{2}}{2mk_{B}T}}}\mathrm {d} p}
Ainsi, on trouve finalement :
P
v
(
v
)
=
4
π
v
2
(
m
2
π
k
B
T
)
3
/
2
e
−
m
v
2
2
k
B
T
{\displaystyle P_{v}(v)=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}}
la distribution de Maxwell-Boltzmann.
Autres dérivations
modifier
La distribution de Maxwell peut se déduire des lois générales de la physique statistique d'équilibre, en appliquant la statistique de Maxwell-Boltzmann , le niveau d'énergie cinétique
E
0
=
m
v
0
2
2
{\displaystyle E_{0}={\frac {mv_{0}^{2}}{2}}}
g
(
E
0
)
{\displaystyle g(E_{0})}
4
π
v
0
2
{\displaystyle 4\pi v_{0}^{2}}
I
0
=
∫
−
∞
∞
e
−
a
x
2
d
x
=
2
∫
0
∞
e
−
a
x
2
d
x
{\displaystyle I_{0}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=2\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x}
On pose
x
=
ρ
cos
θ
{\displaystyle x=\rho \cos \theta }
y
=
ρ
sin
θ
{\displaystyle y=\rho \sin \theta }
x
2
+
y
2
=
ρ
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}}
I
0
2
=
∫
−
∞
∞
e
−
a
x
2
d
x
×
∫
−
∞
∞
e
−
a
y
2
d
y
{\displaystyle I_{0}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x\times \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-ay^{2}}\mathrm {d} y}
I
0
2
=
∫
0
∞
∫
0
2
π
e
−
a
ρ
2
ρ
d
ρ
d
θ
{\displaystyle I_{0}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{-a\rho ^{2}}\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta }
I
0
2
=
π
∫
0
∞
e
−
a
ρ
2
2
ρ
d
ρ
{\displaystyle I_{0}^{2}=\pi \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-a\rho ^{2}}2\rho \,\mathrm {d} \rho }
En posant
z
=
ρ
2
{\displaystyle z=\rho ^{2}}
I
0
2
=
π
∫
0
∞
e
−
a
z
d
z
{\displaystyle I_{0}^{2}=\pi \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-az}\mathrm {d} z}
I
0
2
=
π
[
e
−
a
z
−
a
]
0
∞
=
π
a
{\displaystyle I_{0}^{2}=\pi \left[{\frac {e^{-az}}{-a}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {\pi }{a}}}
I
0
=
(
π
a
)
1
/
2
{\displaystyle I_{0}=\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{1/2}}
I
2
=
∫
−
∞
∞
x
2
e
−
a
x
2
d
x
=
−
d
G
0
d
a
=
1
2
(
π
a
3
)
1
/
2
{\displaystyle I_{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} G_{0}}{\mathrm {d} a}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\pi }{a^{3}}}\right)^{1/2}}
I
4
=
∫
−
∞
∞
x
4
e
−
a
x
2
d
x
=
−
d
G
2
d
a
=
3
4
(
π
a
5
)
1
/
2
{\displaystyle I_{4}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{4}\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} G_{2}}{\mathrm {d} a}}={\frac {3}{4}}\left({\frac {\pi }{a^{5}}}\right)^{1/2}}
I
1
=
∫
−
∞
∞
x
e
−
a
x
2
d
x
{\displaystyle I_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x}
En posant
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
I
1
=
∫
0
∞
y
1
/
2
e
−
a
y
1
2
y
−
1
/
2
d
y
{\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{\infty }y^{1/2}\,\mathrm {e} ^{-ay}\,{\frac {1}{2}}\,y^{-1/2}\,\mathrm {d} y}
I
1
=
1
2
[
e
−
a
y
−
a
]
0
∞
=
1
2
a
{\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {e^{-ay}}{-a}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2a}}}
I
3
=
∫
−
∞
∞
x
3
e
−
a
x
2
d
x
=
−
d
I
1
d
a
=
1
2
a
2
{\displaystyle I_{3}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{3}\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} a}}={\frac {1}{2a^{2}}}}
I
5
=
∫
−
∞
∞
x
5
e
−
a
x
2
d
x
=
−
d
I
3
d
a
=
1
a
3
{\displaystyle I_{5}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{5}\,\mathrm {e} ^{-ax^{2}}\mathrm {d} x=-{\frac {\mathrm {d} I_{3}}{\mathrm {d} a}}={\frac {1}{a^{3}}}}
Brouillon1
Brouillon2
Brouillon3
Brouillon4
Brouillon5
Brouillon6
Bac à sable
![{\displaystyle P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce181fb6edd45cecec69aa25744a56f1c6322ca6)
![{\displaystyle P[v\simeq v_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16fd3457aa872665e9ddbeaa9b36c74188fa909)
![{\displaystyle P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}\pm d{\vec {v}}]=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv_{0}^{2}}{2k_{B}T}}}dv^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbc90fb3cfd327d18e62d9caa41da429963eecf)
![{\displaystyle P[v\simeq v_{0}\pm dv]=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}4\pi v_{0}^{2}\,e^{-{\frac {mv_{0}^{2}}{2k_{B}T}}}dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1217f4303e5088dd9716ee99df5fc60a54167ff2)
![{\displaystyle \mathbb {P} [v_{x}\leqslant v_{x0}<v_{x}+\mathrm {d} v]=f(v_{x})\,\mathrm {d} v_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224c1330bf765084dbe32cc822119022f38f132f)
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left[{\vec {v}}_{0}\simeq {\vec {v}}\right]=\mathrm {d} ^{3}\mathbb {P} \left({\vec {v}}\right)=\mathbb {P} [\left(v_{x}\leqslant v_{x0}<v_{x}+\mathrm {d} v_{x}\right)\cap \left(v_{y}\leqslant v_{y0}<v_{y}+\mathrm {d} v_{y}\right)\cap \left(v_{z}\leqslant v_{z0}<v_{z}+\mathrm {d} v_{z}\right)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1763da4b50479e71349203d4fa2aebc053c7cce)
![{\displaystyle I_{0}^{2}=\pi \left[{\frac {e^{-az}}{-a}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {\pi }{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b958a90e665028ae9a117728b48eccb0cbad22)
![{\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {e^{-ay}}{-a}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc3ed6aefb9483260ad45b2619cd314a2c7972c)
