Utilisateur:Chassain/Brouillon

Convergence de la loi de Student vers la loi normale

Un exemple d'application est la convergence de la loi de Student vers la loi normale. Pour k ≥ 1, la loi de Student à k degrés de liberté a pour densité

$f_{k}(t)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}{\frac {1}{(1+{\frac {t^{2}}{k}})^{\frac {k+1}{2}}}},$

où Γ désigne la fonction Gamma d'Euler. On a classiquement, pour tout $\scriptstyle \ t\in \mathbb {R} ,$

$\lim _{k}\left(1+{\frac {t}{k}}\right)^{k}=e^{t},$

et donc

${\begin{aligned}\lim _{k}{\frac {1}{(1+{\tfrac {t^{2}}{k}})^{\tfrac {k+1}{2}}}}&=\lim _{k}{\frac {1}{(1+{\tfrac {t^{2}}{k}})^{\tfrac {k}{2}}}}\times \lim _{k}\left(1+{\tfrac {t^{2}}{k}}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}\\&=\left(\lim _{k}\left(1+{\tfrac {t^{2}}{k}}\right)^{k}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}=e^{-t^{2}/2}.\end{aligned}}$

On a aussi

$\lim _{t\uparrow +\infty }{\frac {\Gamma (t+\alpha )}{\Gamma (t)t^{\alpha }}}=1,$

d'où, en posant ${t}={\frac {k}{2}}$

$\lim _{k}{\tfrac {1}{\sqrt {k\pi }}}\ {\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \lim _{t\uparrow +\infty }{\frac {\Gamma (t+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (t){\sqrt {t}}}}\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.$

Donc

$\lim _{k}f_{k}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ e^{-t^{2}/2}.$

CQFD