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Formule d'Euler-Maclaurin

Formule d'Euler-Maclaurin#Majorations du reste

Majorations du reste

Si $f$ est une fonction complexe 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice pair^{[N 1]} : $\sup _{t\in [0\,;\,1]}|B_{2k}(t)|=|b_{2k}|$ :

|R_{k}|\leqslant {\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k)}(x)\right|\mathrm {d} x

.

Par exemple, avec $b_{2}={\frac {1}{6}}$ , on a : $|R_{1}|\leqslant {\frac {1}{12}}\int _{p}^{q}\left|f''(x)\right|\mathrm {d} x$ .

L'inégalité, comme celles qui suivent, peut être réécrite en utilisant la formule due à Euler (pour k ≥ 1) : ${\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}={\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2k}}}={\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\zeta (2k)$ . On déduit que ${\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\leqslant {\frac {2\zeta (2)}{(2\pi )^{2k}}}$ (on a l'équivalent : ${\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\sim {\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}$ ).

|R_{k}|\leqslant {\frac {2\zeta (2)}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k)}(t)\right|\mathrm {d} t

.

Si $f$ est une fonction complexe 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice impair^{[N 1]} : $|B_{2k+1}(t)|\leqslant (k+{\frac {1}{2}})|b_{2k}|$ si $t\in [0\,;\,1]$ :

|R_{k}|\leqslant {\frac {(k+{\frac {1}{2}})|b_{2k}|}{(2k+1)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x={\frac {|b_{2k}|}{2(2k)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x={\frac {|\zeta (2k)|}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x

^{[N 2]}.

on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin^[1]^,^{[N 3]} :

|R_{k}|\leqslant {\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(t)\right|\mathrm {d} t

.

Cohen^[2] donne la majoration suivante des polynômes de Bernoulli d'indice impair : $\sup _{t\in [0\,;\,1]}|B_{2k+1}(t)|\leqslant {\frac {2\pi |b_{2k+2}|}{2k+2}}={\frac {2(2k+1)!\,\zeta (2k+2)}{(2\pi )^{2k+1}}}$ , avec comme conséquence :

|R_{k}|\leqslant {\frac {2\zeta (2k+2)}{(2\pi )^{2k+1}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x\leqslant {\frac {2\zeta (2)}{(2\pi )^{2k+1}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x

Avec la majoration $|B_{2k+1}(t)|\leqslant {\frac {2(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}$ (si $t\in [0\,;\,1]$ ) démontrée par Derrick Lehmer, on obtient l'inégalité^{[N 4]} : $|R_{k}|\leqslant {\frac {2}{(2\pi )^{2k+1}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x$

Pour le polynôme de Bernoulli $B 3 (t)$ , on a le maximum $\sup _{t\in [0\,;\,1]}|B_{3}(t)|={\frac {\sqrt {3}}{36}}$ qui permet d'obtenir la majoration :

|R_{1}|\leqslant {\frac {\sqrt {3}}{216}}\int _{p}^{q}\left|f^{(3)}(t)\right|\mathrm {d} t

.

Notes

↑ ^{a et b} Dieudonné 1980, p. 301. Dieudonné note $B k$ les coefficients $|b_{2k}|$ .
↑ Le résultat est valable pour k = 0 en prenant la valeur du prolongement analytique de la fonction $\zeta$ : $\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$ .
↑ Bourbaki, FVR, p. VI.20, donne la majoration $|R_{k}|\leqslant {\frac {4\mathrm {e} ^{2\pi }}{(2\pi )^{2k+1}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(t)\right|\,\mathrm {d} t$ .
↑ (en) Derrick Lehmer, « On the maxima and minima of Bernoulli polynomials », The American Mathematical Monthly, vol. 47, n^o 8,‎ 1940, p. 533–538 (DOI 10.2307/2303833, JSTOR 2303833).

↑ Dieudonné 1980, p. 304.
↑ Cohen 2007, p. 19

Leçons de mathématiques d'aujourd'hui

Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique de Bordeaux

Année universitaire 2010-2011

Laure SAINT-RAYMOND (ENS Paris): L'équation de Boltzmann : état de l'art et perspectives

Année universitaire 2009-2010

Arnaud BEAUVILLE (Université de Nice) : "La théorie de Hodge et quelques applications"
BISMUT Jean-Michel (Université d'Orsay) : Laplacien hypoelliptique et théorème de l'indice
Christophe SOULE (IHES) : La théorie d'Arakelov

Année universitaire 2008-2009

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Mikhail ZAIDENBERG (Université Grenoble 1) : Deux essais sur la géométrie affine

Année universitaire 2007-2008

Persi DIACONIS (Université de Stanford) : Polynômes chromatiques et le problème des anniversaires
J. KEATING (Université de Bristol) : Random matrices and the Riemann zeta-function

Année universitaire 2006-2007

Sergiu KLAINERMANN (Université de Princeton) : Main open problems and recent results in General Relativity

+ Pansu et Frohlich

Groupes d'homotopie

	π_n	π_n+1	π_n+2	π_n+3	π_n+4	π_n+5	π_n+6	π_n+7	π_n+8	π_n+9	π_n+10	π_n+11	π_n+12	π_n+13	π_n+14	π_n+15
S¹	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	Z	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆
S³	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆
S⁴	Z	Z₂	Z₂	Z×Z₁₂	Z₂²	Z₂²	Z₂₄×Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂³	Z₁₂₀×Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂⁵	Z₂⁶
S⁵	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	Z₂	Z₂	Z₂	Z₃₀	Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂	Z₅₀₄×Z₂²
S⁶	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	Z	Z₂	Z₆₀	Z₂₄×Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂
S⁷	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₁₂₀	Z₂³	Z₂⁴
S⁸	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z×Z₁₂₀	Z₂⁴
S⁹	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂³
S¹⁰	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²

Experiment with table format

Clean and colored

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅
S¹	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	Z	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²
S³	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²
S⁴	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z×Z₁₂	Z₂²	Z₂²	Z₂₄×Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂³	Z₁₂₀×Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂⁵
S⁵	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	Z₂	Z₂	Z₂	Z₃₀	Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂
S⁶	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	Z	Z₂	Z₆₀	Z₂₄×Z₂	Z₂³
S⁷	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₁₂₀	Z₂³
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z×Z₁₂₀
S⁹	0	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂

Complete piped

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

n = 8

n = 9

n = 10

n = 11

n = 12

n ≥ k + 2

k = 0

Z

k = 1

Z

2

k = 2

2

k = 3

2

12

Z + 12

24

k = 4

12

2

2²

2

0

k = 5

2

2²

2

Z

0

k = 6

2

3

24 + 3

2

k = 7

3

15

30

60

120

Z + 120

240

k = 8

15

2

8 + 6

2³

2⁴

2³

2²

k = 9

2

2²

2³

2⁴

2⁵

2⁴

Z + 2³

2³

k = 10

2²

12 + 2

40 + 4 + 2 + 3²

18 + 8

24 + 2

8² + 2 + 3²

24 + 2

12 + 2

2² + 3

2 + 3

k = 11

12 + 2

84 + 2²

84 + 2⁵

504 + 2²

504 + 4

504 + 2

504

Z + 504

504

k = 12

84 + 2²

2²

2⁶

2³

240

0

4 + 3

2

2²

See
below

k = 13

2²

6

8 + 2² + 3²

2² + 3

6

2² + 3

6

2² + 3

k = 14

6

30

840 + 9 + 2²

2² + 3

12 + 2

24 + 4

60 + 48 + 8

16 + 4

16 + 2

24 + 16

k = 15

30

15 + 2²

10 + 4 + 3²

120 + 2³

120 + 2⁵

240 + 2³

240 + 2²

30 + 16

k = 16

30

2² + 3

2³ + 3²

2²

504 + 2²

2⁴

2⁷

2⁴

30 + 16

2

k = 17

2² + 3

12 + 2²

8 + 4² + 2² + 3²

4 + 2²

2⁴

2⁵ + 3

2⁴

2³

2⁴

k = 18

12 + 2²

40 + 4 + 2⁵ + 3²

24 + 2²

8 + 2² + 3²

24 + 2

8² + 42 + 9

8 + 2 + 3

8 + 2² + 3

8 + 4 + 2

32 + 30 + 4²

k = 19

12 + 2²

132 + 2

132 + 2⁵

66 + 8

264 + 32

264 + 2

22 + 3²

264 + 2³

264 + 2⁵

	n = 13	n = 14	n = 15	n = 16	n = 17	n = 18	n = 19	n = 20	n ≥ k + 2
k = 12	2								0
k = 13	6	Z + 3							3
k = 14	16 + 2	8 + 2	4 + 2						2²
k = 15	32 + 30	32 + 30	32 + 30	Z + 32 + 30					32 + 30
k = 16	2	8 + 6	2³	2⁴	2³				2²
k = 17	2⁴	2⁴	2⁵	2⁶	2⁵	Z + 2⁴			2⁴
k = 18	8² + 2	8² + 2	8³ + 2 + 3	8³ + 2 + 3	8² + 2	8 + 6	8 + 22		8 + 2
k = 19	264 + 2³	66 + 8 + 4	264 + 2²	8 + 2² + 3 + 11	264 + 2²	66 + 8	66 + 8	Z + 66 + 8	132 + 8

Complete and uncluttered

	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5	n = 6	n = 7	n = 8	n = 9	n = 10	n = 11	n = 12	n ≥ k + 2
k = 0												Z
k = 1	Z											2
k = 2	2	2										2
k = 3	2	12	Z + 12									24
k = 4	12	2	2²	2								0
k = 5	2	2	2²	2	Z							0
k = 6	2	3	24 + 3	2	2	2						2
k = 7	3	15	15	30	60	120	Z + 120					240
k = 8	15	2	2	2	8 + 6	2³	2⁴	2³				2²
k = 9	2	2²	2³	2³	2³	2⁴	2⁵	2⁴	Z + 2³			2³
k = 10	2²	12 + 2	40 + 4 + 2 + 3²	18 + 8	18 + 8	24 + 2	8² + 2 + 3²	24 + 2	12 + 2	2² + 3		2 + 3
k = 11	12 + 2	84 + 2²	84 + 2⁵	504 + 2²	504 + 4	504 + 2	504 + 2	504 + 2	504	504	Z + 504	504
k = 12	84 + 2²	2²	2⁶	2³	240	0	0	0	4 + 3	2	2²	See below
k = 13	2²	6	8 + 2² + 3²	2² + 3	6	6	2² + 3	6	6	2² + 3	2² + 3
k = 14	6	30	840 + 9 + 2²	2² + 3	12 + 2	24 + 4	60 + 48 + 8	16 + 4	16 + 2	16 + 2	24 + 16
k = 15	30	30	30	15 + 2²	10 + 4 + 3²	120 + 2³	120 + 2⁵	240 + 2³	240 + 2²	30 + 16	30 + 16
k = 16	30	2² + 3	2³ + 3²	2²	504 + 2²	2⁴	2⁷	2⁴	30 + 16	2	2
k = 17	2² + 3	12 + 2²	8 + 4² + 2² + 3²	4 + 2²	2⁴	2⁴	2⁵ + 3	2⁴	2³	2³	2⁴
k = 18	12 + 2²	12 + 2²	40 + 4 + 2⁵ + 3²	24 + 2²	8 + 2² + 3²	24 + 2	8² + 42 + 9	8 + 2 + 3	8 + 2² + 3	8 + 4 + 2	32 + 30 + 4²
k = 19	12 + 2²	132 + 2	132 + 2⁵	66 + 8	264 + 32	264 + 2	264 + 2	264 + 2	22 + 3²	264 + 2³	264 + 2⁵

	n = 13	n = 14	n = 15	n = 16	n = 17	n = 18	n = 19	n = 20	n ≥ k + 2
k = 12	2								0
k = 13	6	Z + 3							3
k = 14	16 + 2	8 + 2	4 + 2						2²
k = 15	32 + 30	32 + 30	32 + 30	Z + 32 + 30					32 + 30
k = 16	2	8 + 6	2³	2⁴	2³				2²
k = 17	2⁴	2⁴	2⁵	2⁶	2⁵	Z + 2⁴			2⁴
k = 18	8² + 2	8² + 2	8³ + 2 + 3	8³ + 2 + 3	8² + 2	8 + 6	8 + 22		8 + 2
k = 19	264 + 2³	66 + 8 + 4	264 + 2²	8 + 2² + 3 + 11	264 + 2²	66 + 8	66 + 8	Z + 66 + 8	132 + 8

Current

Sⁿ →	S⁰	S¹	S²	S³	S⁴	S⁵	S⁶	S⁷	S⁸	S⁹	S¹⁰	S¹¹	S¹²	S^≥13
π_<n(Sⁿ)		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_0+n(Sⁿ)	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π_1+n(Sⁿ)	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_2+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_3+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π_4+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12	2	2²	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_5+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2	2²	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_6+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_7+n(Sⁿ)	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π_8+n(Sⁿ)	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	2³	2⁴	2³	2²	2²	2²	2²
π_9+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2²	2³	2³	2³	2⁴	2⁵	2⁴	∞⋅2³	2³	2³	2³
π_10+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2²	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	24²⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π_11+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2	84⋅2²	84⋅2⁵	504⋅2²	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π_12+n(Sⁿ)	⋅	⋅	84⋅2²	2²	2⁶	2³	240	⋅	⋅	⋅	12	2	2²	See below
π_13+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2²	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π_14+n(Sⁿ)	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π_15+n(Sⁿ)	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅2³	120⋅2⁵	240⋅2³	240⋅2²	240⋅2	240⋅2
π_16+n(Sⁿ)	⋅	⋅	30	6⋅2	6²⋅2	2²	504⋅2²	2⁴	2⁷	2⁴	240⋅2	2	2
π_17+n(Sⁿ)	⋅	⋅	6⋅2	12⋅2²	24⋅12⋅4⋅2²	4⋅2²	2⁴	2⁴	6⋅2⁴	2⁴	2³	2³	2⁴
π_18+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2²	12⋅2²	120⋅12⋅2⁵	24⋅2²	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅2²	8⋅4⋅2	480⋅4²⋅2
π_19+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2²	132⋅2	132⋅2⁵	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅2³	264⋅2⁵

Sⁿ →	S¹³	S¹⁴	S¹⁵	S¹⁶	S¹⁷	S¹⁸	S¹⁹	S²⁰	S^≥21
π_12+n(Sⁿ)	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_13+n(Sⁿ)	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π_14+n(Sⁿ)	16⋅2	8⋅2	4⋅2	2²	2²	2²	2²	2²	2²
π_15+n(Sⁿ)	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞⋅480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π_16+n(Sⁿ)	2	24⋅2	2³	2⁴	2³	2²	2²	2²	2²
π_17+n(Sⁿ)	2⁴	2⁴	2⁵	2⁶	2⁵	∞⋅2⁴	2⁴	2⁴	2⁴
π_18+n(Sⁿ)	8²⋅2	8²⋅2	8²⋅2	24⋅8²⋅2	8²⋅2	8⋅4⋅2	8⋅2²	8⋅2	8⋅2
π_19+n(Sⁿ)	264⋅2³	264⋅4⋅2	264⋅2²	264⋅2²	264⋅2²	264⋅2	264⋅2	∞⋅264⋅2	264⋅2

Chopped and colored

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇
S¹	Z	0	0	0	0	0	0
S²	0	Z	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(12)	Z/(2)
S³	0	0	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(12)	Z/(2)
S⁴	0	0	0	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z×Z/(12)
S⁵	0	0	0	0	Z	Z/(2)	Z/(2)
S⁶	0	0	0	0	0	Z	Z/(2)
S⁷	0	0	0	0	0	0	Z

	π_n+0	π_n+1	π_n+2	π_n+3	π_n+4	π_n+5	π_n+6
S¹	Z	0	0	0	0	0	0
S²	Z	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(12)	Z/(2)	Z/(2)
S³	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(12)	Z/(2)	Z/(2)	Z/(3)
S⁴	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z×Z/(12)	Z/(2)²	Z/(2)²	Z/(24)×Z/(3)
S⁵	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(24)	Z/(2)	Z/(2)	Z/(2)
S⁶	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(24)	0	Z	Z/(2)
S⁷	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(24)	0	0	Z/(2)

[D301-1] {a et b} Dieudonné 1980, p. 301. Dieudonné note $B k$ les coefficients $|b_{2k}|$ .

[2] Le résultat est valable pour k = 0 en prenant la valeur du prolongement analytique de la fonction $\zeta$ : $\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$ .

[4] Bourbaki, FVR, p. VI.20, donne la majoration $|R_{k}|\leqslant {\frac {4\mathrm {e} ^{2\pi }}{(2\pi )^{2k+1}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(t)\right|\,\mathrm {d} t$ .

[6] (en) Derrick Lehmer, « On the maxima and minima of Bernoulli polynomials », The American Mathematical Monthly, vol. 47, n^o 8,‎ 1940, p. 533–538 (DOI 10.2307/2303833, JSTOR 2303833).

[3] Dieudonné 1980, p. 304.

[5] Cohen 2007, p. 19

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