Utilisateur:BENSOUILAH/Brouillon


Inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg

modifier

En mathématiques, l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg est une estimation portant sur les dérivées faibles d'une fonction donnée. Elle fait intervenir les normes   de la fonction ainsi que ses dérivées. C'est un résultat particulièrement important de la théorie des équations aux dérivées partielles. Cette inégalité a été proposée par Louis Nirenberg et Emilio Gagliardo [1].

Soient   une fonction C à support compact, deux réels   et un entier  . Soient   un réel et   un entier naturel tels que

 

et

 

Alors, il existe une constante   dépendant de   et   telle que

 

Pour une preuve de cette inégalité, voir [4] théorème 9.3. La première condition sur   est l'homogénéité en  . La seconde condition exprime qu'à homogénéité fixée,   ne peut pas dépasser la valeur d'interpolation avec  , i.e.  . Le cas limite interdit est   lorsqu'il a la même homogénéité que  , sauf si   auquel cas le résultat est trivial (en intégrant   fois).

Conséquences

modifier
  • Pour  , la norme   de   dans le membre de droite de l'inégalité ci-dessous n’apparaît plus. Dans ce cas on retrouve les injections de Sobolev.
  • Un autre cas spécial de l'inégalité d'interpolation de Gagliardo–Nirenberg est l'inégalité de Ladyzhenskaya, qui s'obtient pour       ou     et  .

Références

modifier
  1. (en) L. Nirenberg, « On elliptic partial differential equations », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), vol. 13,‎ , p. 115–162
  2. (en) Thierry Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, Courant Lecture Notes in Mathematics, vol 10, New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, (ISBN 0821833995), p. 9
  3. Jean Ginibre, Introduction aux équations de Schrödinger non linéaires, cours de DEA 1994-1995, Université de Paris-Sud (ISBN 2-87800-147-8), p. 13
  4. (en) Avner Friedman, Partial differential equations, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, (ISBN 0486469190), p. 24

Voir aussi

modifier

Bibliographie

modifier
  • (en) L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010, 2nd edition
  • (en) Luc Tartar, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation spaces, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana, vol 3, Springer, 2007, 1st edition
  • (en) Robert A. Adams et John J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003, 2ème édition

Articles connexes

modifier