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Probabilités conditionnelles

Probabilité conditionnelle

Probabilité de A sachant B — $P(A|B)={\cfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

Propriétés

• Si $B\subseteq A$ Alors $P(A|B)=P(1)$
• Si $A$ et $B$ Incompatibles Alors $P(A|B)=0$
• $P(A|\Omega )=1$

Formules de Bayes

1ère formule de Bayes — $P(B|A)={\cfrac {P(A|B)P(B)}{P(A)}}$

Formules des probabilités totales

formule des probabilités totales — $(B_{i})_{i\in I}$ un système complet d'événements, alors $P(A)=\sum _{i\in I}P(A|B_{i})P(B_{i})$

Indépendance

Indépendance — $A$ et $B$ indépendantes ssi $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

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Variables Aléatoires

Cas Discret

Espérance (Moyenne)

$E[X]=\sum _{i}iP(X=i)$

$E[X]=\sum _{i}P(X>i)$

Variance

$Var(X)=E[(X-E[X])^{2}]=E[X^{2}]-(E[X])^{2}$

Cas Continu

Fonction de Répartition

Propriétés

$P(a<X<b)=P(a\leq X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$

$F_{X}(\infty )=1$

Espérance (Moyenne)

$E[X]=\int _{\mathbb {R} }xf_{X}(x)dx$

Théorème du transport

Théorème du transport — $E[g(X)]=\int _{\mathbb {R} }g(x)f_{X}(x)dx$

Moments

Moment non centré d'ordre k

$\mu _{k}(X)=E[X^{k}]$

Moment centré d'ordre k

$\mu _{k}(X)=E[(X-E[X])^{k}]$

Formule du changement de variable

Formule du changement de variable — Si $Y=g(X)$ alors $f_{Y}(y)=|(g^{-1})'(y)*f_{X}(g^{-1}(y))|$

Caractérisation d'une loi de probabilité

Loi de probabilité	$P_{X}$
Fonction de répartition	$F_{X}(y)=P(X\leq y)=\int _{-\infty }^{y}f_{X}(x)dx$
Densité	$f_{X}(x)={\cfrac {dF_{X}(x)}{dx}}$

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Lois usuelles

Lois Discrètes

Loi Uniforme discrète sur $\{x_{1},...,x_{n}\}$

$\forall k=1,...,n$,

$P(X=x_{k})={\cfrac {1}{n}}$

Loi de Bernoulli de paramètre $p\in [0,1]$ sur $\{0,1\}$

${\begin{cases}P(X=1)=p\\P(X=0)=1-p=q\end{cases}}$

Loi Binomiale de paramètres $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et $p\in [0,1]$ sur $\{0,1,2,...,n\}$

$\forall k=1,...,n$,

$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

$E[X]=np$

$Var(X)=np(1-p)=npq$

Loi Géométrique de paramètre $p\in [0,1]$ sur $\mathbb {N} ^{*}$

$\forall k=1,2,...$,

$P(X=k)=q^{k-1}p$

avec $q=1-p$

$E[X]={\cfrac {1}{p}}$

$Var(X)={\cfrac {q}{p^{2}}}$

Loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$ sur $\mathbb {N}$

$\forall k\in \mathbb {N}$,

$P(X=k)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{k}}{k!}}$

Lois Continues

Loi Uniforme continue sur $[a,b]$

$\forall x\in \mathbb {R}$,

$f_{X}(x)={\cfrac {1}{b-a}}\displaystyle {1\!\!1}_{[a,b]}(x)$

$F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}x<a\\{\cfrac {x-a}{b-a}}&{\mbox{si }}a\leq x\leq b\\1&{\mbox{si }}x>b\end{cases}}$

Loi Exponentielle de paramètre $\lambda >0$ sur $\mathbb {R} ^{+}$

$\forall x\in \mathbb {R}$,

$f_{X}(x)=\lambda e^{-\lambda x}\displaystyle {1\!\!1}_{[0,+\infty ]}(x)$

$F_{X}(x)=(1-e^{-\lambda })\displaystyle {1\!\!1}_{[0,+\infty ]}(x)$

$E[X]={\cfrac {1}{\lambda }}$

$Var(X)={\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}$

Loi Normale de paramètres $(\mu ,\,\sigma ^{2})$ sur $\mathbb {R}$

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

On peut généraliser cette formule dans le cas d' un vecteur gaussien de dimension n en remplaçant variable x et mu par vecteur X et m, variance par matrice de covariance. Attention tout de même à noter que dans le cas général le coefficient 1/(2*Pi) est élevé à la puissance n/2

Soit $X$ un vecteur gaussien à valeurs $\mathbb {R} ^{d}$ de moyenne $m$ et de matrice de covariance $K$. Pour tous $b\in \mathbb {R} ^{r}$ et $M$ matrice $r\times d$, $Y=b+MX$ est un vecteur gaussien à valeurs $\mathbb {R} ^{r}$ de moyenne $b+Mm$ et de matrice de covariance $MKM'$

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Vecteurs aléatoires

Définition

Vecteur Aléatoire — Un vecteur aléatoire ve.a. est une v.a. $X=(X_{1},...,X_{d})$ à valeurs dans $\mathbb {R} ^{d}$ muni de sa tribu Borélienne $B(\mathbb {R} ^{d})$, i.e., une application mesurable $X:(\Omega ,A)->(\mathbb {R} ^{d},B(\mathbb {R} ^{d}))$ qui à $w->X(w)=(X_{1}(w),...,X_{d}(w))$ La loi d' un ve.a. est appelée loi jointe A noter que la connaisance de la loi jointe implique celle des lois marginales mais pas l' inverse! La connaissance des lois marginales n' implique pas a priori celle de la loi jointe. Cependant, dans le cas fréquent des variables dites i.i.d. (indépendantes et de même loi), il y a équivalence puisque la loi jointe du produit cartésien des variables indépendantes est alors égale au produit des lois marginales.

Covariance

$Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]$

Mis à part dans quelques cas particuliers (vecteurs gaussiens par exemple), il n' y pas équivalence entre covariance nulle et indépendance. L' indépendance est une condition plus forte que la nullité de la covariance. La première implique la seconde, cependant la réciproque est fausse.

Coefficient de Corrélation

$\rho _{XY}={\cfrac {Cov(X,Y)}{\sqrt {Var(X)Var(Y)}}}$

Théorème du changement de variable

Théorème du changement de variable — Si $h(x,y)=(u,z)$ alors $f_{Z,U}(z,u)=|J_{h^{-1}}|f_{X,Y}(h^{-1}(x,y))$

On préférera utiliser la définition de la fonction de répartition pour la nouvelle variable que la formule du changement de variable. La densité s'obtient alors par dérivation. Cette méthode est souvent moins lourde en calcul.

Convergences

• $(X_{n})_{1\leq n}$

• $S_{n}=\sum _{1<i<n}X_{i}$

Loi faible des grands nombres

Loi faible des grands nombres — $E(|X_{1}|)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\cfrac {S_{n}}{n}}{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{en\ Proba}}E(X_{1})$

Loi forte des grands nombres

Loi forte des grands nombres — $E(|X_{1}|)<\infty \quad \iff \quad {\cfrac {S_{n}}{n}}{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{p.s.}}E(X_{1})$

Théorème central limite

Théorème central limite — $E(X_{1}^{2})<\infty \quad \Rightarrow \quad {\cfrac {S_{n}-nE(X_{1})}{\sqrt {nVar(X_{1})}}}{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{en\ Loi}}{\mathcal {N}}(0,1)$