Aleg
J'ai décidé de ne RIEN DONNER à ce site rapiat qui érige en fondement la censure puis vient pleurer pour avoir l'aumône !
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Une solution originale à la suite de Grandi A= 1-1+1-1+1-1 ... =1/2
Aurais-je marché sur la quatrième dimension du pied gauche sans m’en rendre compte ?
Voulant démontrer que la suite de Grandi (encore elle !) ne pouvait pas être égale à 1/2 j’ai, il me semble démontré le contraire, je m’explique :
Partant de l’idée que la suite A= +1-1+1-1+1-1… était constituée de 2 autres suites imbriquées que je j’appellerai A+ et A- et telles que A= (A+) + (A-) avec
A+= +1_+1_+1_+1 …
A-= _ -1_ -1_ -1_ -1 …
(Notez que les espaces ont leur importance)
Les termes de la suite A, n0, n1, n2, n3 … prennent respectivement la valeur +1, -1, +1, -1 …
La suite A+ n’existe que pour n>= 0 et tous les termes n pairs
La suite A- n’existe que pour n>=1 et tous les termes n impairs
En reportant les points des sommes partielles (n, f(n)) des suites A+ et A- sur un repère orthonormé d’abscisse n et d’ordonnée f(n) on constate que
Tous les points somme de la suite A+ sont alignés et contenus dans une droite d’équation
y(n)= 1/2.n+1
Tous les points somme de la suite A- sont alignés et contenus dans une droite d’équation
z(n)= -1/2.n-1/2
A partir de là on intègre ces deux fonctions
∫ y(n) dn= 1/4.n^2+n
∫ z(n) dn= -1/4.n^2-n/2
Et en sommant les deux intégrales
Σ ∫ y(n) + ∫ z(n) = 1/4n^2+n + (-1/4n^2-n/2) = 1/4n^2+n -1/4n^2-n/2= n/2
n/2 est l’aire différence entre les deux courbes
en divisant par n on obtient la moyenne des différences n/2n= 1/2 (constante indépendante de n)
On peut aussi obtenir ce résultat directement sans intégrer en sommant y(n)+z(n)
Σ y(n)+z(n) =1/2.n+1 -1/2.n-1/2 = 1/2
Cette solution me laisse dubitatif …
Cette démonstration a été publiée par mes soins le 2 mai 2017 à 16:55 sur le blog :
https://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/#comment-15752
Une autre solution originale à la suite B= 1-2+3-4+5 ... =1/4
J’ai appliqué ma méthode à la suite B= 1-2+3-4+5-6+7 … =1/4 pour voir si ça avait de chances de fonctionner, et je crois que oui :
La suite B= 1-2+3-4+5-6+7 … est composée de 2 autres suites imbriquées qu’on peut appeler B+ et B- telles que B= (B+) + (B-) avec
B+= +1_+3_+5_ …
B-= _ -2_ -4_ -6 …
(Notez que là aussi les espaces ont leur importance)
Les termes de la suite B, n0, n1, n2, n3 … prennent respectivement la valeur +1, -2, +3, -4 …
La suite B+ n’existe que pour n>= 0 et tous les termes n pairs
La suite B- n’existe que pour n>=1 et tous les termes n impairs
En reportant les points des sommes partielles (n, f(n)) des suites B+ et B- sur un repère orthonormé d’abscisse n et d’ordonnée f(n) on constate que
Tous les points somme de la suite B+ sont contenus dans une courbe de type y(x)= x^2
Tous les points somme de la suite B- sont contenus dans une courbe de type z(x)= -x^2+k
Ici, j’ai du mal à l’expliquer et j’ai pas mal tâtonné, mais, il faut procéder à un changement de variable, la variable « n » de notre série B ne fonctionne pas directement, par contre la variable « x » telle que x= 1/2n+1 fonctionne parfaitement, pour tout « n » donné >=0 correspond un « x ».
Cette nouvelle variable « x » nous permet de calculer k, qui vaut ici 1/4
A partir de là on intègre ces deux fonctions
∫ y(x) dx= 1/3.x^3
∫ z(x) dx= -1/3.x^3+x/4
Et en sommant les deux intégrales
Σ ∫ y(x) + ∫ z(x) = 1/3x^3 -1/3.x^3+x/4 =x/4
x/4 est l’aire obtenue en faisant la différence entre les deux courbes
puis en divisant par x on obtient la moyenne des différences (x/4).(1/x)= 1/4 (1/4 est une constante indépendante de x (et de n))
On peut aussi obtenir ce résultat directement sans intégrer en sommant y(x)+z(x)
Σ y(x)+z(x) = x^2 – x^2+1/4 = 1/4
Est-ce généralisable à toutes les séries alternées répondant à une loi régulière de type u= +a -b +c -d ?
Solution de la série de Ramanujan S= 1+2+3+4+5 ... = -1/12
Ici je ne pense pas qu’on puisse décomposer la série S en deux sous-séries car tous les termes de la série sont de même signe.
Pour connaitre le résultat de la série de Ramanujan S= 1+2+3+4+5 … = -1/12, il n’est pas nécessaire de connaitre le résultat de la somme de Grandi, par contre on peut passer par une opération intermédiaire utilisant la somme des entiers alternés B= 1-2+3-4+5 … = 1/4 et retomber en partie sur le calcul présenté par l’auteur du blog :
S= 1+2+3+4+5 … = ?
B= 1-2+3-4+5 … = 1/4
-B= -1+2-3+4-5 … = -1/4
S-B= 0+4+0+8+0 … = 4.S
-B= 4.S –S= (4-1).S
-B = 3.S
S= -B/3 = (-1/4).(1/3) = -1/12
CQFD …
Une nouvelle solution originale à la série de Ramanujan S= 1+2+3+4+5 ... = -1/12
J'ai décomposé la série S= 1+2+3+4+5 … en deux
S+= +1_+3_+5_ …
S-= _ -2_ -4_ -6 …
Les termes de la suite S, n0, n1, n2, n3 … prennent respectivement la valeur +1, -2, +3, -4 …
Les termes impairs ont été multipliés par -1 pour le tracé de deux courbes séparées
Tous les points somme de la suite S+ sont contenus dans une courbe de type y(x)= x^2
Tous les points somme de la suite S- sont contenus dans une courbe de type z(x)= -x^2+k
J'ai procédé au même changement de variable « x » avec x= 1/2n+1 pour calculer k=1/4
J'ai prolongé les deux courbes jusqu'à x = -2, on voit que les deux courbes se recoupent en deux points : x^2 = -x^2+1/4, soit x = √(1/8) et x = -√(1/8)
En intégrant la somme des deux courbes entre ces deux bornes x = √(1/8) et x = -√(1/8)
∫ y(x) + z(x) dx= 1/3.x^3 +1/3.x^3-x/4 = -√(2)/12
Puis en divisant par 2 et par 2.√(1/8) on trouve -1/12
Une autre solution originale à la série de Ramanujan S= 1+2+3+4+5 ... = -1/12
J'ai trouvé une solution plus simple encore mais je ne sais pas encore comment l'interpréter :
Je décompose la série S= 1+2+3+4+5 … en deux mais sans changer le signe
Sa = +1_+3_+5_ …
Sb = _ +2_ +4_ +6 …
Les termes de la série S, n0, n1, n2, n3 … prennent respectivement la valeur +1, +2, +3, +4 …
Tous les points somme de la série Sa sont contenus dans une courbe y(x)= x^2
Tous les points somme de la série Sb sont contenus dans une courbe z(x)= x^2-1/4
La courbe z(x) s'annule pour x = -1/2 et x= 1/2 et devient négative entre ces deux bornes
En intégrant la somme des deux courbes entre x = -1/2 et x = 1/2
∫ y(x) + z(x) dx= 1/3.x^3 +1/3.x^3-x/4
On trouve directement S = -1/12 !!!
La solution se simplifie mais le mystère reste entier ...