Abdelouahab

                           Courbure et Torsion

TRIEDRE DE FRENET (Repère Mobile)

Soit $\Gamma$ une courbe, s(t) son l'abscisse curviligne et $M_{0}=s(t_{0})$ son origine. Appelons : ${\vec {T}}={\frac {d{\vec {f}}(t)}{ds}}={\frac {d{\vec {O}}M}{ds}}$

par définition de la différentielle la "tangente" ${\vec {T}}$ à $\Gamma$ au voisinage de M. De plus, par définition de l'abscisse curviligne :

                                       $\left|\left|{\vec {T}}\right|\right|={\frac {\left|\left|d{\vec {O}}M\right|\right|}{\left|ds\right|}}=1$

et donc ${\vec {T}}$ unitaire.

Intéressons nous maintenant à : ${\frac {d{\vec {T}}}{ds}}$

Nous savons que : $\left|\left|{\vec {T}}\right|\right|={\vec {T}}\ .{\vec {T}}$

donc :

                                  ${\frac {d({\vec {T}}\ .{\vec {T}})}{ds}}={\frac {d{\vec {T}}}{ds}}\ .{\vec {T}}+{\vec {T}}\ .{\frac {d{\vec {T}}}{ds}}=2{\vec {T}}\ .{\frac {d{\vec {T}}}{ds}}=0$

Ce résultat va nous être utile pour détermine les conséquences de la définition suivante. Posons:

                                  ${\vec {N}}={\frac {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}{\left|\left|{\frac {d{\vec {T}}}{ds}}\right|\right|}}={\frac {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}{C}}$

Etant donné le résultat précédent,${\vec {N}}$ est le vecteur perpendiculaire unitaire à ${\vec {T}}$ (nous disons que ce couple de vecteur est "orthonormé direct") en M et C en est par définition la "courbure".

Remarque : la définition de C tel que ci-dessus est vrai dans le cadre d’un choix d’avoir une courbure positive. C’est un point de vue pris en mécanique mais non nécessaire en mathématique. s(t) est birégulier si et seulement si C différent de 0. Si c'est le cas alors :

                                 ${\vec {N}}={\frac {\frac {d{\vec {T}}}{ds}}{C}}={\frac {1}{C}}{\frac {d{\vec {T}}}{ds}}=R{\frac {d{\vec {T}}}{ds}}$

où R est appelé le "rayon de courbure en s". On dispose des formules de Frenet:

                           ${\frac {d{\vec {T}}}{ds}}=C{\vec {N}}$     ${\frac {d{\vec {N}}}{ds}}=-R{\vec {T}}$  

Quant à la relation :

                            ${\frac {\vec {N}}{R}}={\frac {d{\vec {T}}}{ds}}$

elle est appelé "1ère formule de Frenet".

Pour donner une interprétation géométrique de la courbure à $\Gamma$ en M , il suffit d'étudier la projection $\gamma$ de $\Gamma$ dans le plan défini par $(M,{\vec {T}},{\vec {N}})$. Ainsi, nous définissons par $\Omega$ le point du plan contenant le centre du "cercle osculateur" ou "cercle de courbure" qui tangent le mieux $\gamma$ et $\Gamma$ tel que :

                             ${\vec {\Omega }}={\vec {M}}+R{\vec {N}}$

Le cercle de centre $\Omega$ et de rayon R est le cercle qui tangente le mieux $\gamma$ et $\Gamma$. Il est appelé "cercle osculateur" à $\Gamma$ en M.

Dans le cas particulier où ${\vec {T}}$ est un vecteur constant :

                             ${\frac {d{\vec {T}}}{ds}}$=0

et donc C=0 ce qui implique que R n'est plus défini. Nous disons quelque fois dans ce cas que le rayon de courbure à $\Gamma$ est infini (une droite présente alors une courbure nul en tout point). Etudions maintenant le vecteur :

                               ${\vec {B}}={\vec {T}}\wedge {\vec {N}}$

Nous pouvons déjà dire, étant donné que ${\vec {T}}$ et ${\vec {N}}$ sont unitaires, ${\vec {B}}$ l'est aussi. Démontrons que ${\frac {d{\vec {B}}}{ds}}$ est orthogonal à ${\vec {T}}$:

                  ${\frac {d{\vec {B}}}{ds}}$ = ${\frac {d{\vec {T}}}{ds}}\wedge {\vec {N}}+{\vec {T}}\wedge {\frac {d{\vec {N}}}{ds}}={\vec {o}}\wedge {\vec {N}}+{\vec {T}}\wedge {\frac {d{\vec {N}}}{ds}}={\vec {T}}\wedge {\frac {d{\vec {N}}}{ds}}$       

Etant donné que ${\vec {N}}$ est perpendiculaire à ${\vec {T}}$, et que est aussi perpendiculaire à nous pouvons en conclure que est colinéaire à . Posons :

Cette relation constitue la "2ème formule de Frenet" avec R' où par définition, est le "vecteur binormal" de au point et en est la "torsion" et R' le "rayon de torsion". Nous pouvons maintenant établir la "3ème formule de Frenet" :

d'où nous tirons :

Or de par les propriétés du produit vectoriel :

d'où la 3ème formule de Frenet :

Nous appelons "trièdre de Frenet" associé à au point , le repère naturel orthonormale de l'espace  :

Remarque : le rayon de courbure est donc dans le plan osculateur (plan formé par le vecteur tangent et normal à la courbe) qui est le meilleur plan dans lequel est contenu la courbe. Du coup, le rayon de courbure donne en un point (localement) le meilleur ("le plus vrai") rayon de la courbe. La torsion nous donne par contre la tendance qu'à la courbe à sortir du plan osculateur (in extenso si la courbe est contenue dans un plan, la torsion est nulle).

hypotrochoïde