Transposition (logique)

En logique des propositions, une transposition[1],[2],[3] est une règle de remplacement valide qui permet d'échanger l'antécédent avec le conséquent d'une implication matérielle dans une preuve logique s'il sont tous les deux négatifs. C'est l'inférence de la vérité de « A implique B » à la vérité de « non-B implique non-A », et inversement.[4],[5] Il est très étroitement liée à la règle d'inférence modus tollens. La règle est la suivante :

où «  » est un symbole métalogique représentant "peut être remplacé dans une démonstration avec."

Notation formelleModifier

La règle de transposition peut être exprimée en notation séquent :

 

  est un symbole métalogique signifiant que   est une déduction logique de   dans un système logique;

ou comme une règle d'inférence:

 

où la règle est que partout où une instance de «   » apparaît sur une ligne d'une preuve, il peut être remplacé par «   » ;

ou comme la déclaration d'une tautologie de vérité fonctionnelle ou d'un théorème de la logique propositionnelle. Le principe a été énoncé comme un théorème de la logique propositionnelle par Russell et Whitehead dans les Principia Mathematica :

 

où   et   sont des propositions exprimées dans un système formel.

Logique traditionnelleModifier

Forme de transpositionModifier

Dans la proposition inférée, le conséquent est contradictoire de l'antécédent dans la proposition initiale, et l'antécédent de la proposition inférée est contradictoire de la conséquence de la proposition originale. Le symbole de l'implication matérielle signifie la forme "si-alors", par exemple "Si P alors Q".

La déclaration biconditionelle de la règle de transposition (↔) se réfère à la relation entre des propositions hypothétiques (→), avec chaque proposition incluant un antécédent et un conséquent. Signifiant que, pour transposer ou convertir (P → Q) en (Q → P) exige que l'autre proposition, (~Q → ~P), soit transposée ou converti en (~P → ~Q).

La vérité de la règle de transposition dépend des rapports de condition suffisante et de condition nécessaire en logique.

Dans la proposition "Si P alors Q", l'apparition de 'P' est une raison suffisante pour l'apparition de 'Q'. 'P', en tant qu'individu ou d'une classe, implique matériellement 'Q', mais la relation de 'Q' à 'P' est telle que, à l'inverse de la proposition "Si Q alors P" n'a pas nécessairement de condition suffisante. La règle d'inférence pour la condition suffisante est le modus ponens :

Prémisse (1) : Si P, alors Q

Prémisse (2) : P

Conclusion : Par conséquent, Q

Condition nécessaireModifier

Comme le contraire du prémisse (1) n'est pas valide, tout ce qui peut être déclaré de la relation de 'P' et 'Q' est que en l'absence de 'Q', 'P' ne se produit pas, ce qui signifie que 'Q' est la condition nécessaire pour 'P'. La règle d'inférence pour condition nécessaire est le modus tollens :

Prémisse (1) : Si P, alors Q

Prémisse (2) : non Q

Conclusion : Par conséquent, non P

Transposition en logique mathématiquesModifier

Voir Transposition (mathematiques), Théorie des ensembles

PreuveModifier

Proposition Dérivation
  Donné
  Implication matérielle
  Commutativité
  Implication matérielle

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Patrick Hurley, A Concise Introduction to Logic, Cengage Learning, (lire en ligne), p. 414
  2. (en) Irving M. Copi et Carl Cohen, Introduction to Logic, Prentice Hall, , p. 371
  3. Moore and Parker
  4. Brody, Bobuch A. "Glossary of Logical Terms".
  5. Copi, Irving M. Symbolic Logic. 5e éd.

Lectures complémentairesModifier

  • Brody, Bobuch A. "Glossary of Logical Terms". Encyclopedia of Philosophy. Vol. 5-6, p. 61. Macmillan, 1973.
  • Copi, Irving. Introduction to Logic. MacMillan, 1953.
  • Copi, Irving. Symbolic Logic. MacMillan, 1979, fifth edition.
  • Prior, A.N. "Logic, Traditional". Encyclopedia of Philosophy, Vol.5, Macmillan, 1973.
  • Stebbing, Susan. A Modern Introduction to Logic. Harper, 1961, 7e edition