Transformée d'Abel

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En mathématiques, la transformée d'Abel, nommée d'après Niels Henrik Abel, est une transformation intégrale de projection d'une fonction axisymétrique.

La transformée d'Abel $F$ de la fonction $f$ s'écrit^[1] :

F(x)=2\int _{x}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,dr.

Si $f(r)$ converge plus rapidement que $1/r$ , on peut écrire la transformée d'Abel inverse^[2] :

f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dx}}\,{\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-r^{2}}}}.

Physique

La transformée d'Abel et son inverse ont un certain nombre d'utilisations dans le domaine de la physique, notamment dans le cas de distributions à symétrie circulaire en deux dimensions qui doivent être projetées en une dimension. C'est par exemple le cas pour la formation d'images optiques, la cartographie par radar ou la détection passive^[1].

Notes et références

↑ ^{a et b} (en) Ronald N. Bracewell, The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill, 1986, 474 p. (lire en ligne), p. 262.
↑ (en) Alexander D. Poularikas, Transforms and Applications Handbook, CRC Press, 2010, 911 p. (ISBN 9781420066531, lire en ligne), p. 8-28.

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[Bracewell_1986-1] {a et b} (en) Ronald N. Bracewell, The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill, 1986, 474 p. (lire en ligne), p. 262.

[Poularikas_2010-2] (en) Alexander D. Poularikas, Transforms and Applications Handbook, CRC Press, 2010, 911 p. (ISBN 9781420066531, lire en ligne), p. 8-28.

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