Une transformation canonique est une transformation
(
q
→
,
p
→
)
→
(
Q
→
,
P
→
)
,
H
(
q
→
,
p
→
)
→
K
(
Q
→
,
P
→
)
{\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})~,~H({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow K({\vec {Q}},{\vec {P}})}
de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques :
q
→
˙
=
∂
H
∂
p
→
→
Q
→
˙
=
∂
K
∂
P
→
;
p
→
˙
=
−
∂
H
∂
q
→
→
P
→
˙
=
−
∂
K
∂
Q
→
{\displaystyle {\dot {\vec {q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\vec {p}}}}~~\rightarrow ~~{\dot {\vec {Q}}}={\frac {\partial K}{\partial {\vec {P}}}}\,;\,{\dot {\vec {p}}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\vec {q}}}}~~\rightarrow ~~{\dot {\vec {P}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\vec {Q}}}}}
.
(On note
∂
∂
x
→
=
∇
→
x
→
=
∑
i
=
1
N
∂
∂
x
i
e
→
i
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\vec {x}}}}={\vec {\nabla }}_{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\vec {e}}_{i}}
où
x
→
=
∑
i
=
1
N
x
i
e
→
i
{\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\vec {e}}_{i}}
.)
On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :
{
Q
α
,
P
β
}
=
δ
α
β
{\displaystyle \{Q_{\alpha },P_{\beta }\}=\delta _{\alpha \beta }}
{
Q
α
,
Q
β
}
=
0
{\displaystyle \{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=0}
{
P
α
,
P
β
}
=
0
{\displaystyle \{P_{\alpha },P_{\beta }\}=0}
L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :
S
[
q
→
,
p
→
]
=
∫
d
t
L
(
q
→
,
q
→
˙
,
t
)
=
∫
d
t
(
p
→
⋅
q
→
˙
−
H
(
q
→
,
p
→
,
t
)
)
=
∫
d
t
f
(
q
→
˙
,
q
→
,
p
→
,
t
)
.
{\displaystyle S[{\vec {q}},{\vec {p}}]=\int \mathrm {d} t~L({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}},t)=\int dt~({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H({\vec {q}},{\vec {p}},t))=\int \mathrm {d} t~f({\dot {\vec {q}}},{\vec {q}},{\vec {p}},t).}
Or les équations canoniques vérifiées par
H
(
q
→
,
p
→
)
{\displaystyle H({\vec {q}},{\vec {p}})}
impliquent que
f
{\displaystyle f}
vérifie les équations d'Euler-Lagrange :
d
d
t
(
∂
f
∂
q
→
˙
)
−
∂
f
∂
q
→
=
d
d
t
(
p
→
)
+
∂
H
∂
q
→
=
p
→
˙
−
p
→
˙
=
0
→
;
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial {\vec {q}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {p}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial {\vec {q}}}}={\dot {\vec {p}}}-{\dot {\vec {p}}}={\vec {0}};}
d
d
t
(
∂
f
∂
p
→
˙
)
−
∂
f
∂
p
→
=
d
d
t
(
0
→
)
−
(
q
→
˙
−
∂
H
∂
p
→
)
=
−
q
→
˙
+
q
→
˙
=
0
→
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {\vec {p}}}}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {0}}\right)-\left({\dot {\vec {q}}}-{\frac {\partial H}{\partial {\vec {p}}}}\right)=-{\dot {\vec {q}}}+{\dot {\vec {q}}}={\vec {0}}.}
On a donc stationnarité de l'action si et seulement si
H
(
q
→
,
p
→
)
{\displaystyle H({\vec {q}},{\vec {p}})}
vérifie les équations canoniques, et de même pour
K
(
Q
→
,
P
→
)
{\displaystyle K({\vec {Q}},{\vec {P}})}
.
On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :
δ
(
∫
d
t
(
p
→
⋅
q
→
˙
−
H
)
)
=
0
,
δ
(
∫
d
t
(
P
→
⋅
Q
→
˙
−
K
)
)
=
0
{\displaystyle \delta \left(\int \mathrm {d} t~({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H)\right)=0\,,\,\delta \left(\int \mathrm {d} t~({\vec {P}}\cdot {\dot {\vec {Q}}}-K)\right)=0}
d'où la condition dite d'invariance :
(
p
→
⋅
q
→
˙
−
H
)
−
(
P
→
⋅
Q
→
˙
−
K
)
=
d
F
d
t
(
q
→
,
p
→
,
Q
→
,
P
→
,
t
)
.
{\displaystyle ({\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H)-({\vec {P}}\cdot {\dot {\vec {Q}}}-K)={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}({\vec {q}},{\vec {p}},{\vec {Q}},{\vec {P}},t).}
Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation
(
q
→
,
p
→
)
→
(
Q
→
,
P
→
)
,
H
(
q
→
,
p
→
)
→
K
(
Q
→
,
P
→
)
{\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})~,~H({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow K({\vec {Q}},{\vec {P}})}
.
Fonction principale de Hamilton, équation de Hamilton-Jacobi
modifier
On note N le nombre de degrés de liberté du système,
(
q
→
,
p
→
,
Q
→
,
P
→
)
{\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}},{\vec {Q}},{\vec {P}})}
représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation
(
q
→
,
p
→
)
→
(
Q
→
,
P
→
)
{\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})}
. On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice.
Si on choisit d'utiliser les variables
(
q
→
,
P
→
)
{\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {P}})}
, on a une fonction génératrice
S
(
q
→
,
P
→
)
{\displaystyle S({\vec {q}},{\vec {P}})}
que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de
(
q
→
,
P
→
)
{\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {P}})}
, il faut appliquer une transformation de Legendre à
F
{\displaystyle F}
:
S
(
q
→
,
P
→
)
=
F
+
Q
→
⋅
P
→
{\displaystyle S({\vec {q}},{\vec {P}})=F+{\vec {Q}}\cdot {\vec {P}}}
.
On a alors
d
S
d
t
=
d
F
d
t
+
Q
→
˙
⋅
P
→
+
Q
→
⋅
P
→
˙
=
∂
S
∂
q
→
⋅
q
→
˙
+
∂
S
∂
P
→
⋅
P
→
˙
+
∂
S
∂
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}+{\dot {\vec {Q}}}\cdot {\vec {P}}+{\vec {Q}}\cdot {\dot {\vec {P}}}={\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}\cdot {\dot {\vec {q}}}+{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}\cdot {\dot {\vec {P}}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}}
et la condition d'invariance devient
(
p
→
−
∂
S
∂
q
→
)
⋅
q
→
˙
+
(
Q
→
−
∂
S
∂
P
→
)
⋅
P
→
˙
+
(
−
H
+
K
−
∂
S
∂
t
)
=
0.
{\displaystyle \left({\vec {p}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}\right)\cdot {\dot {\vec {q}}}+\left({\vec {Q}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}\right)\cdot {\dot {\vec {P}}}+\left(-H+K-{\frac {\partial S}{\partial t}}\right)=0.}
On a choisi
(
q
→
,
P
→
)
{\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {P}})}
comme variables indépendantes, on peut donc identifier et l'on obtient :
p
→
−
∂
S
∂
q
→
=
0
→
{\displaystyle {\vec {p}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}}={\vec {0}}}
;
Q
→
−
∂
S
∂
P
→
=
0
→
{\displaystyle {\vec {Q}}-{\frac {\partial S}{\partial {\vec {P}}}}={\vec {0}}}
;
−
H
+
K
−
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle -H+K-{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}
.
Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation
(
q
→
,
p
→
)
→
(
Q
→
,
P
→
)
{\displaystyle ({\vec {q}},{\vec {p}})\rightarrow ({\vec {Q}},{\vec {P}})}
à partir de la donnée de la fonction
S
(
q
→
,
P
→
)
{\displaystyle S({\vec {q}},{\vec {P}})}
, et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :
H
(
q
→
,
∂
S
∂
q
→
,
t
)
+
∂
S
∂
t
=
K
{\displaystyle H\left({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=K}
.
Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement. Par exemple, en imposant
K
=
0
{\displaystyle K=0}
, on a simplement
Q
→
˙
=
0
→
{\displaystyle {\dot {\vec {Q}}}={\vec {0}}}
et
P
→
˙
=
0
→
{\displaystyle {\dot {\vec {P}}}={\vec {0}}}
, soit
Q
→
{\displaystyle {\vec {Q}}}
et
P
→
{\displaystyle {\vec {P}}}
constants.
Il reste alors à déterminer
(
Q
→
(
q
→
,
p
→
)
,
P
→
(
q
→
,
p
→
)
)
{\displaystyle ({\vec {Q}}({\vec {q}},{\vec {p}}),{\vec {P}}({\vec {q}},{\vec {p}}))}
pour obtenir la solution
(
q
→
(
t
)
,
p
→
(
t
)
)
{\displaystyle ({\vec {q}}(t),{\vec {p}}(t))}
, or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles
H
(
q
→
,
∂
S
∂
q
→
,
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0.
{\displaystyle H({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}},t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}
Remarque
Dans ce cas, la condition d'invariance devient
p
→
⋅
q
→
˙
−
H
=
d
S
d
t
⇒
S
=
∫
L
d
t
{\displaystyle {\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-H={\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}~~\Rightarrow ~~S=\int L~\mathrm {d} t}
. La fonction génératrice
S
{\displaystyle S}
est alors simplement l'action du système.
Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique
H
(
q
→
,
p
→
,
t
)
=
p
→
2
2
m
+
V
(
q
→
,
p
→
,
t
)
{\displaystyle H({\vec {q}},{\vec {p}},t)={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {q}},{\vec {p}},t)}
, on a alors des termes non linéaires).
Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether ), on a donc directement :
∂
S
∂
t
=
−
H
(
q
→
,
∂
S
∂
q
→
)
=
−
E
=
c
o
n
s
t
a
n
t
e
{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-H({\vec {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\vec {q}}}})=-E=constante}
d'où
S
=
S
0
(
q
→
,
p
→
)
−
E
t
{\displaystyle S=S_{0}({\vec {q}},{\vec {p}})-Et}
et l'équation à résoudre est simplifiée :
H
(
q
→
,
∂
S
0
∂
q
→
)
−
E
=
0.
{\displaystyle H({\vec {q}},{\frac {\partial S_{0}}{\partial {\vec {q}}}})-E=0.}