Théorème porte-manteau

En mathématiques, le théorème porte-manteau, théorème de Portmanteau ou de Portemanteau est un théorème de probabilité qui fournit une liste de caractérisations de la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires.

Convergence en loiModifier

Soit X une variable aléatoire et soit   une suite de variables aléatoires, toutes à valeurs dans le même espace métrique (E,d).

Définition — On dit que la suite   converge en loi vers X si, pour toute fonction   continue bornée sur E,

 

La convergence en loi est souvent notée en ajoutant la lettre   au-dessus de la flèche de convergence:

 

ÉnoncéModifier

Théorème porte-manteau[1] — Les cinq assertions suivantes sont équivalentes :

  1. Xn converge en loi vers X ;
  2. pour toute fonction   bornée et uniformément continue sur E,
      ;
  3. pour tout fermé F de E,
      ;
  4. pour tout ouvert O de E,
      ;
  5. pour tout borélien A de E tel que  ,
     .

Ici,   désigne la frontière, ou le bord de A.

ConséquenceModifier

D'un point de vue pratique, les propriétés 2 à 5 sont rarement utilisées pour démontrer la convergence en loi, mais la propriété 5 est certainement une conséquence importante de la convergence en loi. D'une part, la propriété 5 préfigure le théorème de l'application continue (en) ; par ailleurs la propriété 5 possède un cas particulier d'usage fréquent, dans le cas où S est la droite réelle :

Proposition — Si Xn converge en loi vers X, alors, dès que la fonction de répartition F de X est continue en x, on a :

 ,

Fn désigne la fonction de répartition de Xn .

Cette proposition est en fait une équivalence, et sert souvent, dans le cas des variables aléatoires réelles, de définition de la convergence en loi. En effet, d'un point de vue pédagogique, elle permet d'utiliser efficacement cette notion sans pour autant avoir eu à construire préalablement la théorie de la mesure.

Démonstration du théorème porte-manteauModifier

Cette démonstration est adaptée de Billingsley 1999, p. 16-17.

HistoriqueModifier

D'après Billingsley[5] ou Kallenberg[6], le théorème porte-manteau est dû à Alexandrov[7]. Dans la deuxième édition de Convergence of Probability Measures, Billingsley attribue le théorème à Jean-Pierre Portmanteau[8], de l'université de Felletin, dans un article de 4 pages que Jean-Pierre Portmanteau aurait publié en 1915 dans les Annales de l'Université de Felletin, sous le titre farfelu « Espoir pour l'ensemble vide ? ». Il s'agit d'un canular : il n'y a pas de mathématicien portant le nom de Jean-Pierre Portmanteau, et il n'y a jamais eu d'université à Felletin.

Notes et référencesModifier

  1. (en) Patrick Billingsley (en), Convergence of Probability Measures, Wiley, , 2e éd., 296 p. (ISBN 978-0-471-19745-4), « The Portmanteau Theorem », p. 15-16.
  2. Voir Espérance mathématique#Cas d'une variable aléatoire réelle positive.
  3. Voir Continuité (mathématiques)#Caractérisations globales.
  4. Voir Famille sommable#Propriétés.
  5. (en) Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, Wiley, , 1re éd., 263 p., p. 16.
  6. (en) Olav Kallenberg (en), Foundations of Modern Probability, 2e éd. [détail de l’édition], Theorem 4.25 (Portmanteau theorem, Alexandrov), p. 75.
  7. (en) A. D. Aleksandrov, « Additive set functions in abstract spaces », dans Mat. Sb., vol. 8, 1940, p. 307-348, vol. 9, 1941, p. 563-628 et vol. 13, 1943, p. 169-238.
  8. Billingsley 1999, p. 273 (Bibliography).