Théorème ergodique maximal

Le théorème ergodique maximal est un théorème qui s'inscrit dans la théorie ergodique, une branche des mathématiques.

Soient $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ est un espace de probabilité, $T:X\to X$ une transformation préservant la mesure (non nécessairement inversible), et $f\in L^{1}(\mu ,\mathbb {R} )$. On définit l'application $f^{*}$ par

$f^{*}=\sup _{N\geq 1}{\frac {1}{N}}\sum _{i=0}^{N-1}f\circ T^{i}.$

Alors le théorème ergodique maximal énonce que

$\int _{f^{*}>\lambda }f\,d\mu \geq \lambda \cdot \mu \{f^{*}>\lambda \}$

pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$.

Ce théorème est utilisé pour prouver le théorème ergodique ponctuel.

Références

•  Dynamics & stochastics: festschrift in Honour of M.S. Keane, Institute of Mathematical Statistics, coll. « Lecture notes-monograph series », 2006 (ISBN 978-0-940600-64-5)