Théorème de Stark-Heegner

Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément, parmi les corps quadratiques imaginaires, lesquels ont un anneau d'entiers factoriel. Il résout le cas n = 1 du problème du nombre de classes de Gauss, qui est de déterminer combien de corps quadratiques imaginaires ont leur nombre de classes égal à n.

Énoncé

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Soient ℚ le corps des nombres rationnels et d ≠ 1 un entier sans facteur carré (c'est-à-dire produit, ou opposé d'un produit, de nombres premiers distincts). Alors le corps de nombres ℚ(d) est une extension de degré 2 de ℚ, appelée une extension quadratique. Le nombre de classes de ℚ(d) est le nombre de classes d'équivalence des idéaux non nuls de l'anneau des entiers de ce corps, où deux idéaux I et J sont équivalents si et seulement s’il existe des éléments non nuls a et b de l'anneau tels que aI = bJ. Ainsi, l'anneau des entiers de ℚ(d) est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car cet anneau est de Dedekind) si et seulement si son nombre de classes est égal à 1. Le théorème de Stark-Heegner peut alors être énoncé comme suit :

Théorème — Si d < 0, alors le nombre de classes de l'anneau des entiers de ℚ(d) est égal à 1 si et seulement si

 

Histoire

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Ce résultat fut conjecturé en premier par le mathématicien allemand Gauss et démontré par Kurt Heegner en 1952, bien que la démonstration de Heegner ne fût pas acceptée[1] avant que Harold Stark donne une démonstration en 1967[2] et montre qu'elle était en réalité équivalente à celle de Heegner.

Si, inversement, d > 0, la conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont le nombre de classes vaut 1[3] n'est toujours pas résolue. Les résultats par calculs indiquent qu'il existe un grand nombre de tels corps[4].

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stark–Heegner theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Dorian Goldfeld, « Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 13, no 1,‎ , p. 23-37 (lire en ligne) ; « The Gauss Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields (preprint) », sur université Columbia.
  2. (en) H. M. Stark, « A complete determination of the complex quadratic fields of class-number one », Michigan Math. J., vol. 14,‎ , p. 1-27 (lire en ligne).
  3. (en) H. M. Stark, « The Gauss Class-Number Problems », Clay Mathematics Proceedings, vol. 7,‎ (lire en ligne).
  4. Suite  A003172 de l'OEIS.

Voir aussi

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Articles connexes

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Lien externe

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(en) Noam D. Elkies, « The Klein Quartic in Number Theory », dans The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve, coll. « MSRI Publications » (no 35), (lire en ligne), p. 51-101, qui explique la nouvelle preuve de Monsur A. Kenku (1985)