Théorème de Poincaré-Bertrand

Le théorème de Poincaré-Bertrand concerne le réarrangement des termes pour le calcul de certaines intégrales impropres. Il a été établi par Henri Poincaré[1] et Gaston Bertrand[2],[3], ainsi que par Godfrey Harold Hardy[4].

ÉnoncéModifier

Soit Γ une courbe fermée ou ouverte dans le plan complexe, soit f (τ,τ') une fonction définie sur Γ (généralement de valeur complexe) et continue au sens de Hölder par rapport à τ et τ', et soit t un point sur Γ sauf une extrémité si Γ est ouvert, alors[5]

 

v.p. est la valeur principale de Cauchy

Dans le cas particulier d'une fonction f(τ) dépendant d'une seule variable et définie sur une courbe fermée alors

 

Cette expression est valide pour tout t si f est continue au sens de Hölder ou presque tout t si f ∈ Lp,  p > 1

RéférencesModifier

  1. Henri Poincaré, Leçons de Mécanique Céleste : Théorie des marées, vol. 3, Gauthier-Villars, , 253-256 p. (lire en ligne)
  2. Gaston Bertrand, « Equations de Fredholm à intégrales principales au sens de Cauchy », Comptes-rendus de l'Académie des sciences, vol. 172,‎ , p. 1458-1461 (lire en ligne)
  3. Gaston Bertrand, « La théorie des marées et les équations intégrales », Annales scientifiques de l'École normale supérieure, vol. 40,‎ , p. 151-258 (lire en ligne)
  4. (en) Godfrey Harold Hardy, « The theory of Cauchy's principal values », Proceedings of London Mathematical Society, vol. 7, no 2,‎ , p. 181–208 (lire en ligne)
  5. (en) Nikolaĭ Ivanovich Muskhelishvili, Singular integral equations: boundary problems of functions theory and their applications to mathematical physics, Wolters-Noordhoff, (ISBN 9-0016-0700-4)