Théorème de Meyers-Serrin

En analyse fonctionnelle, le théorème de Meyers (de)-Serrin concerne l'équivalence de deux définitions des espaces de Sobolev.

Définitions préalables

Les notations sont celles de l'article espace de Sobolev.

Soit Ω un ouvert quelconque (non vide) de ℝⁿ. Deux concepts qui sont souvent utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations sont les espaces H et les espaces W.

Plus précisément, si m est un entier naturel, p un réel tel que 1 ≤ p < ∞ et α est un multi-indice

• W^m,p(Ω) est l'espace de Sobolev :

$\{u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega );D^{\alpha }u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega ),\forall \alpha \in \mathbb {N} ^{n}:|\alpha |\leq m\ \}$

muni de la norme :

$\|u\|_{W^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}$

où D^αu est une dérivée partielle de u au sens des distributions et $\|.\|_{\mathrm {L} ^{p}}$ désigne la norme de l'espace de Lebesgue L^p(Ω).

• H^m,p(Ω) est l’adhérence dans W^m,p(Ω) de C^∞(Ω) ∩ W^m,p(Ω) ou encore le complété de l'espace vectoriel normé

$\{u\in C^{\infty }(\Omega );\|u\|_{H^{m,p}}<\infty \}$

avec

$\|u\|_{H^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}$

où D^αu est une dérivée partielle de u au sens classique (u ∈ C^∞(Ω)).

Énoncé

$W^{m,p}(\Omega )=H^{m,p}(\Omega )$

Remarque

Avant la publication de ce théorème, l'égalité H = W était démontrée pour des ouverts Ω particuliers (satisfaisant à certaines propriétés de régularité).