Théorème de Kneser (combinatoire)
énoncé sur les sommes d'ensembles dans les groupes abéliens, en combinatoire additive
Ne pas confondre avec le théorème sur les équations différentielles (en) d'Adolf Kneser.
En combinatoire additive, le théorème de Kneser, nommé d'après Martin Kneser, est un énoncé sur les sommes d'ensembles dans les groupes abéliens[1].
Énoncé modifier
Soient A et B deux parties finies non vides d'un groupe abélien G et H le sous-groupe (fini) des périodes de A + B :
alors[2] :
ce qui entraîne : |A + B| ≥ |A| + |B| – |H| ; en particulier si |A + B| ≤ |A| + |B| – 2 alors A + B est périodique, i.e. possède des périodes non nulles.
De plus, si l'inégalité (✲) est stricte, alors |A + B| est même supérieur ou égal à |A + H| + |B + H|[2].
Notes et références modifier
- (de) M. Kneser, « Abschätzungen der asymptotischen Dichte von Summenmengen », Math. Z., vol. 58, , p. 459-484 (lire en ligne)
- (en) Alfred Geroldinger et Imre Z. Ruzsa (en), Combinatorial Number Theory and Additive Group Theory, Springer, (ISBN 978-3-7643-8961-1, lire en ligne), p. 143
- (en) Terence Tao et Van H. Vu, Additive Combinatorics, CUP, , 532 p. (ISBN 978-0-521-13656-3, lire en ligne), p. 200, Theorem 5.5
- (en) Melvyn Nathanson, Additive Number Theory : Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer, coll. « GTM » (no 165), , 296 p. (ISBN 978-0-387-94655-9, lire en ligne), p. 109-132
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kneser's theorem (combinatorics) » (voir la liste des auteurs).
Voir aussi modifier
Articles connexes modifier
Lien externe modifier
(en) Hamidoune’s Freiman-Kneser theorem for nonabelian groups, , sur le blog de Terence Tao
