Théorème d'Akra-Bazzi

En informatique, le théorème d'Akra-Bazzi, appelé aussi la méthode d'Akra-Bazzi, sert à déterminer le comportement asymptotique des solutions de suites définies par récurrence qui apparaissent dans l'analyse asymptotique des coûts d'algorithme, notamment de la classe des algorithmes diviser pour régner. Le théorème est publié en 1998 et constitue une généralisation du Master theorem, puisque ce dernier ne s'applique qu'aux algorithmes du type « diviser pour régner » dont les sous-problèmes sont essentiellement de même taille.

Formulation mathématique

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On considère l'équation de récurrence[1] :

  pour  

  est une fonction qui satisfait les conditions suivantes :

  • La fonction est définie pour un nombre suffisant de valeurs initiales pour admettre une solution unique ;
  • Les nombres   et   sont des constantes pour tous les indices  , et   et   ;
  • Pour la dérivée   de  , on a  , pour une constante   (  est le symbole de la notation de Landau) ;
  •   pour tout i ;
  •   est une constante.

Alors   admet l'estimation suivante de son comportement asymptotique (  le symbole de la notation de Landau) :

 

  est tel que  .

Les fonctions   représentent une petite perturbation de l’argument de T. Comme   et comme   est toujours compris entre 0 et 1, on peut utiliser   pour ignorer les différences avec les parties fractionnaires de l’argument. Par exemple, les fonctions   et   ont, d'après le théorème d'Akra-Bazzi, le même comportement asymptotique[2].

Une variante de la condition sur la dérivée   de   est la condition de croissance polynomiale de   qui s'énonce comme suit : il existe des constantes positives   et   telles que pour   on ait

 

pour tout réel   dans la réunion des intervalles  , pour  .

Exemples

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Tri fusion

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Pour le tri fusion le nombre T(n) de comparaisons qui est une bonne mesure de sa complexité en temps est donné par l'équation récursive :

 ,

avec comme cas initial  . On peut appliquer le théorème d'Akra-Bazzi avec  ,  ,  ,  , et  , et on obtient le comportement asymptotique

 .

Diviser pour régner avec des sous-problèmes inégaux

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On considère   définie par

  pour  

et   pour  . On prend   de sorte que

 .

La formule s'évalue alors comme suit :

 

Importance et autres exemples

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Le théorème d'Akra-Bazzi couvre une très vaste classe d'équations récursives et généralise de manière substantielle les résultats connus précédemment pour déterminer le comportement asymptotique. Il est utilisé en informatique pour déterminer la complexité en temps d'algorithmes récursifs du type diviser pour régner. Les exemples suivants sont donnés dans les notes de Leighton[3] et repris dans un cours de Chowdhury[4]

Exemple 1
 

On a   et

 
Exemple 2
 

On a   et

 
Exemple 3
 

On a   et

 
Exemple 4
 

On a   et

 

Notes et références

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(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Akra-Bazzi-Theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. La formulation de Akra et Bazzi 1998 est moins générale que celle de Leighton 1996 donnée ici.
  2. Les formulations de Mehlhorn et de Chowdhury 2012 sont légèrement différentes, en ne s'embarrassant pas des parties entières.
  3. Leighton 1996.
  4. Chowdhury 2012.

Bibliographie

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Article original
  • Mohamad Akra et Louay Bazzi, « On the solution of linear recurrence equations », Computational Optimization and Applications, vol. 10, no 2,‎ , p. 195-210 (MR 99c:68115, présentation en ligne) — Springer montre les deux premières pages.
Exposés pédagogiques