Tenseur de densité du flux d'impulsion

Le tenseur de densité du flux d'impulsion est donné par:

Considérons un fluide ayant la vitesse : l'impulsion de l'unité de volume du fluide est égale à avec la masse volumique du fluide. Le taux de sa variation est donc:


En notations tensorielles, nous avons alors:


Utilisons l'équation de continuité:  ; et l'équation d'Euler:


Grâce à ces deux équations, nous déduisons:


Nous pouvons très bien écrire que:


d'où,


Afin de mettre en évidence la signification du tenseur , intégrons l'équation précédente dans un certain volume:


D'après le théorème d'Ostrogradsky-Gauss, nous pouvons écrire:


Dans le premier membre nous avons la variation par unité de temps de la i-ème composante de l'impulsion dans le volume considéré. Ce qui signifie que le second membre représente la quantité de cette impulsion s'écoulant par unité de temps à travers la surface délimitant le volume considéré.

En écrivant , nous pouvons dire que: ce qui correspond à l'expression vectorielle . Nous concluons que est la i-ème composante de la quantité d'impulsion traversant par unité de temps l'unité de surface normale à l'axe .