Système temps invariant

Un processus transformant un signal d’entrée en un signal de sortie (signaux électriques par exemple) est appelé système temps invariant (ou stationnaire, ou autonome) lorsqu’une translation du temps appliquée à l’entrée se retrouve à la sortie[1]. Les systèmes temps invariant s'opposent aux systèmes temps variant, où cette invariance par translation temporelle des signaux n'est pas vérifiée[2].

Définition

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Si au signal d'entrée  , un système invariant associe une sortie  , alors quel que soit le décalage temporel   appliqué à l'entrée, le système associe au signal   la sortie décalée  .

Définition équivalente :

Un système est invariant s’il y a commutativité entre le bloc du système et un bloc délai arbitraire.

Cette propriété peut être satisfaite (mais pas nécessairement) si la fonction de transfert du système n'est pas une fonction du temps (hormis dans les expressions de l'entrée et de la sortie).

Exemples

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Exemples basiques

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Pour savoir comment déterminer si un système est invariant, considérons les deux systèmes :

  • Système A:  
  • Système B:  

Comme le système A dépend explicitement du temps t en dehors de   et  , alors le système n'est pas invariant. Le système B, lui, ne dépend pas explicitement du temps t et est donc invariant.

Exemples formels

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Une preuve plus formelle de l'invariance (ou non) des systèmes A et B ci-dessus est présentée ici. Pour effectuer cette preuve, la seconde définition va être utilisée.

Système A :

À partir de l'entrée avec un décalage  
 
 
Maintenant retardons la sortie par  
 
 
Clairement  , c'est pourquoi le système n'est pas invariant.

Système B :

À partir de l'entrée avec un décalage  
 
 
Maintenant retardons la sortie par  
 
 
Clairement  , c'est pourquoi le système est invariant

Exemple abstrait

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Notons l'opérateur retard par    est la quantité par laquelle le paramètre vectoriel doit être retardé. Par exemple, le système "avance de 1" :

 

peut être représenté par la notation abstraite :

 

  est la fonction donnée par

 

le système produisant la sortie décalée

 

Donc   est un opérateur qui avance l'entrée vectorielle de 1.

Supposons que nous représentions le système par un opérateur  . Ce système est invariant s'il commute avec l'opérateur retard, c’est-à-dire :

 

Si l'équation du système est donnée par :

 

Alors c'est un système invariant si on peut appliquer l'opérateur   sur   suivi de l'opérateur retard  , ou appliquer l'opérateur retard   suivi de l'opérateur du système  , les 2 calculs produisant un résultat équivalent.

Appliquons l'opérateur du système en premier :

 

Appliquer l'opérateur retard en premier donne:

 

Si le système est invariant, alors

 

Notes et références

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  1. « Système invariant [Modéliser les SLCI] », sur sii-tannarelli.com (consulté le )
  2. Thomas Conord, « Contrôle robuste des systèmes variant dans le temps », Thèse, UPS Toulouse - Université Toulouse 3 Paul Sabatier,‎ (lire en ligne, consulté le )

Articles connexes

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