Statistique exhaustive

concept statistique

Les statistiques exhaustives sont liées à la notion d'information et en particulier à l'information de Fisher. Elles servent entre autres à améliorer des estimateurs grâce à l'usage du théorème de Rao-Blackwell et du théorème de Lehmann-Scheffé.

Intuitivement, parler d'une statistique exhaustive revient à dire que cette statistique contient l'ensemble de l'information sur le(s) paramètre(s) de la loi de probabilité.

DéfinitionModifier

Soit   un vecteur d'observation de taille  , dont les composantes   sont indépendantes et identiquement distribués (iid). Soit   un paramètre influant sur la loi de probabilité à laquelle sont soumis les  . Une statistique   est dite exhaustive (pour le paramètre  ) si la probabilité conditionnelle d'observer   sachant   est indépendante de  . Cela peut se traduire par la formule suivante :

 

En pratique l'on se sert peu de cette formule pour montrer qu'une statistique est exhaustive et l'on préfère en règle générale utiliser le critère suivant appelé critère de factorisation (parfois aussi appelé critère de Fisher-Neyman):

Soit   la densité de probabilité du vecteur d'observation  . Une statistique   est exhaustive si et seulement s'il existe deux fonctions g et h mesurables telles que:

 

Premier exemple : modèle exponentiellement distribuéModifier

Si   est un vecteur d'observation de   variables iid de loi exponentielle de paramètre   alors   est une statistique exhaustive.

En effet la densité de   est donné par:   qui peut se factoriser comme:  .

Ici on a   mais ce n'est pas toujours le cas.

Deuxième exemple : distribution de PoissonModifier

Soient   des variables iid de distribution de Poisson d'espérance  , alors   est une statistique exhaustive.

La densité de la loi de   est :  

La densité de la loi de   est le produit des densités des   car ils sont iid donc :  

Le critère de factorisation est satisfait avec  

Information apportée par une statistique exhaustiveModifier

Dans le cadre de l'information de Fisher pour une statistique on a les deux résultats suivants :

  • Pour une statistique exhaustive on a   ce qui permet de voir une statistique exhaustive comme une statistique comprenant toute l'information du modèle. On a aussi la réciproque à savoir que si   alors S est exhaustif bien que cette caractérisation soit rarement utilisée dans ce sens. La définition reposant sur le critère de factorisation des statistiques exhaustives est souvent plus maniable.
  • Quelle que soit la statistique S,   avec un cas d'égalité uniquement pour des statistiques exhaustives. On ne peut donc récupérer plus d'information que celle contenue dans une statistique exhaustive. Ceci explique en grande partie l'intérêt des statistiques exhaustives pour l'estimation. La relation d'ordre est ici la relation d'ordre partielle sur les matrices symétriques à savoir qu'une matrice   si   est une matrice symétrique positive.