Sous-variété lagrangienne

Les sous-variétés lagrangiennes sont l'analogue en géométrie symplectique des sous-espaces lagrangiens en algèbre linéaire.

Sous-fibré lagrangien

Une forme symplectique $\omega$ sur un fibré vectoriel $E\rightarrow M$ est une section en tout point non dégénérée du fibré $E^{*}\wedge E^{*}\rightarrow M$. Un sous-fibré vectoriel $F$ de $E$ est dit lagrangien lorsque les fibres $F_{x}$ sont des sous-espaces vectoriels lagrangiens des fibres $E_{x}$, i.e. :

$\forall u\in F_{x},\;\omega _{x}(u,\cdot )=0$

Exemple : Si $E\to M$ est un fibré vectoriel réel, alors $E\oplus E^{*}\to M$ est naturellement muni d'une forme symplectique $\omega$ donnée par :

$\omega (v\oplus v^{*},w\oplus w^{*})=v^{*}(w)-w^{*}(v)$

Le fibré $E$ est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique $E\oplus E^{*}$.

Sous-variétés lagrangiennes

Si $L$ est une sous-variété différentielle de $M$, le fibré tangent $TM\rightarrow M$ se restreint sur $L$ en un fibré de rang $n$.

Une sous-variété $L$ d'une variété symplectique $(M,\omega )$ est dite lagrangienne lorsque le fibré vectoriel $TL$ est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique $(T_{L}M,\omega )$.

Exemples :

• Toute courbe d'une surface munie d'une forme d'aire en est une sous-variété lagrangienne.
• Soit $L$ une variété différentielle. Considérons la forme de Liouville $\lambda$ sur $T^{*}L$. Si $\sigma$ est une forme différentielle sur $L$, son graphe $\Gamma ={\sigma (x),x\in L}$, est une sous-variété lagrangienne de $(T^{*}L,d\lambda )$ ssi $\sigma$ est fermée.

Voir aussi

• Géométrie symplectique
• Variété symplectique
• Homologie de Floer
• Théorème de Weinstein