Sous-variété lagrangienne

Les sous-variétés lagrangiennes sont l'analogue en géométrie symplectique des sous-espaces lagrangiens en algèbre linéaire.

Sous-fibré lagrangien modifier

Une forme symplectique   sur un fibré vectoriel   est une section en tout point non dégénérée du fibré  . Un sous-fibré vectoriel   de   est dit lagrangien lorsque les fibres   sont des sous-espaces vectoriels lagrangiens des fibres  , i.e. :

 

Exemple : Si   est un fibré vectoriel réel, alors   est naturellement muni d'une forme symplectique   donnée par :

 

Le fibré   est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique  .

Sous-variétés lagrangiennes modifier

Si   est une sous-variété différentielle de  , le fibré tangent   se restreint sur   en un fibré de rang  .

Une sous-variété   d'une variété symplectique   est dite lagrangienne lorsque le fibré vectoriel   est un sous-fibré lagrangien du fibré symplectique  .

Exemples :

  • Toute courbe d'une surface munie d'une forme d'aire en est une sous-variété lagrangienne.
  • Soit   une variété différentielle. Considérons la forme de Liouville   sur  . Si   est une forme différentielle sur  , son graphe  , est une sous-variété lagrangienne de   ssi   est fermée.

Voir aussi modifier