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Série d'Eisenstein

En mathématiques, les séries d'Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s'écrire explicitement.

Séries d'Eisenstein du groupe modulaireModifier

 
G4
 
G6
 
G8

Pour tout entier k ≥ 2, la série d'Eisenstein G2k est la fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive définie par

 

C'est une forme modulaire de poids 2k, propriété incluant que pour tous entiers relatifs a, b, c, d tels que ad – bc = 1,

 

Relations de récurrenceModifier

Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en G4 et G6 grâce à la relation de récurrence suivante (qui fait intervenir des coefficients binomiaux) :  

Les dk apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass :  

Séries de FourierModifier

Posons  . Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont :   où les coefficients de Fourier c2k sont donnés par :   les Bn désignant les nombres de Bernoulli, ζ la fonction zêta de Riemann et σp(n) la somme des puissances p-ièmes des diviseurs de n. En particulier,   La somme sur q se resomme en une série de Lambert :   pour tout nombre complexe q de module strictement inférieur à 1.

Identités de RamanujanModifier

Ramanujan a donné de nombreuses identités intéressantes entre les tout premiers termes : pour   on a  


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Eisenstein series » (voir la liste des auteurs).