Réactivité d'un assemblage nucléaire

Dans une réaction en chaîne, la réactivité d'un système nucléaire ou d'un assemblage nucléaire dépend à la fois de la nature des matériaux présents (densité de matières fissiles, présence de modérateur...) et de sa géométrie (taille de l'assemblage, présence de réflecteurs neutroniques...) ; un assemblage est en règle générale d'autant moins réactif qu'il est petit, car les neutrons produits dans sa partie réactive se perdent au-delà de sa frontière dans un milieu moins réactif. On calcule donc souvent d'abord le facteur de multiplication d'un milieu supposé infini, qui est le maximum qui puisse être atteint par un milieu de nature donnée, puis on calcule la taille effective qu'il faut lui donner pour avoir une réactivité positive, compte tenu des conditions aux limites de l'assemblage (fuites et présence d'éventuels réflecteurs).

Réactivité d'un milieu infiniModifier

On parle de facteur de multiplication infini (noté  ) lorsque le facteur de multiplication des neutrons est évalué en ne tenant compte que de la composition moyenne du milieu, mais pas de la géométrie de sa frontière (et donc, en particulier, en négligeant les fuites de neutrons) car ceci revient à décrire le processus dans un milieu réactif d’extension infinie. Ce   est défini comme le rapport du nombre de neutrons d'une génération au nombre de neutrons de la génération précédente dans un milieu infini :

 

La formule des quatre facteurs donne un tour plus concret à   en faisant apparaître les termes principaux qui le composent.  

Évaluation estimative de   dans le cas d'un réseau combustible typeModifier

On se propose de retrouver par un calcul estimatif la valeur typique de   dans le cas d'un réseau de réacteur à eau sous pression[Note 1].

Une formulation simplifiée de chacun des quatre facteurs est donnée en fonction des deux caractéristiques primordiales du réacteur à eau pressurisée qui influent sur la réactivité à savoir :

  • l'enrichissement en uranium 235 noté :   pour l'enrichissement en noyaux et   pour l'enrichissement massique
  • le rapport de modération molaire (ou atomique) : noté   = Rapport des concentrations volumiques des atomes d'hydrogène et d'uranium = Rapport des nombres d'atomes d'hydrogène et d'uranium[Note 2]

Les évaluations numériques sont celles du réseau combustible d'un réacteur proche du REP 900 MWe à l'état neuf, supposé exempt de poison neutronique.

  •  [Note 3]
  • valeur à chaud 292,8 °C,
  • puissance nulle, avec:
de l'uranium enrichi en masse à 2,28 % et en noyaux à 2,31 %
un rapport de modération molaire type de 4,34

Les grandeurs numériques précisant la composition du cœur et plus généralement l'ensemble des éléments nécessaires au calcul sont rassemblées dans le tableau Notations - données - résultats en fin d'article

On appelle combustible au sens de l'application de la formule des quatre facteurs : l'oxyde d'uranium (+ le cas échéant d'autres atomes lourds), l'oxygène du combustible en fait partie mais non pas le zirconium des gaines considéré comme matériau de structure[Note 4].

Évaluation simplifiée du facteur ηModifier

 

  = Nombre de neutrons de fission produits par capture de 1 neutron dans le combustible =  

  • on exprime tous les termes en fonction de   et  
  •   = Nombre de neutrons émis par fission ≈ 2,425 dans le cas de 235U
  •   = Section efficace macroscopique de fission de l'uranium 235 =  
  = Section efficace microscopique de fission des atomes fissiles
  = Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur
  •   = Section efficace macroscopique de capture par les atomes fissiles =  
  = Section efficace microscopique de capture par les atomes fissiles du combustible
  = Concentration volumique des atomes fissiles dans le cœur
  •   = Section efficace macroscopique de capture par les atomes lourds non fissiles =  
  = Section efficace microscopique de capture par les atomes lourds non fissiles
  = Concentration volumique des atomes lourds non fissiles dans le cœur
 
  •   = Section efficace macroscopique de capture par les atomes d'oxygène du combustible =  
 

 

En remplaçant   et   par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par  , il vient :

 
  • Mis à part l'enrichissement, tous les termes de la relation donnant η sont des constantes physiques. Les grandeurs interviennent en termes relatifs via des rapports et non point en valeur absolue ce qui confère une robustesse très relative au résultat vis-à-vis des variations de températures, spectre en énergie des neutrons et autres. Les valeurs trouvées pour η sont indépendantes de la concentration en matière fissile du milieu considéré ; elles ne dépendent que des concentrations relatives des corps présents dans le milieu exprimées par l'enrichissement en uranium 235.
  • On pose :
 
 
termes qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement   ou de la modération  .

Formule simple :

 
  • avec :
 
 
  • Applicable pour
 

Le facteur η dépend prioritairement de l'enrichissement et marginalement de la modération.

Numériquement: (cf. tableau en fin d'article)

  • Termes de la formule simplifiée donnant   :
 
 
  • Résultat:
Pour, un enrichissement massique moyen typique de 2,283 % soit 2,312 % en noyaux
η ≈ 1,777[Note 3]
Commentaire

Pour ce qui concerne la capture des neutrons (donc intervenant dans les facteurs η, f et p) du fait de sa très faible section efficace, l'oxygène peut être largement négligé devant les autres corps. En revanche l'oxygène contribue à la diffusion et au ralentissement des neutrons ; c'est même un excellent modérateur.

Évaluation simplifiée du facteur fModifier

 

 ;

  • on exprime tous les termes en fonction de   , et  
  •  
  •  
  •  
  •   = Section efficace macroscopique de capture dans le modérateur =  
 
 
  •   = Section efficace macroscopique de capture dans le zirconium et les structures =  [Note 5]
Dans le réacteur à eau sous-pression électrogène le rapport entre le volume de zirconium et le volume d'UO2 ne varie que faiblement d'un modèle à l'autre. Il est égal au 1er ordre au rapport de la section du tube de zirconium à la section de la pastille d'UO2 qui ne change que très peu d'un réseau combustible crayon à l'autre, il en découle que le rapport   est constant au 1er ordre d'un type de réacteur à l'autre. Il dépend toutefois de la température de fonctionnement du fait de la dilatation assez sensiblement différente de l'oxyde d'uranium et du zirconium [Note 6]. Avec les dimensions typiques des crayons combustibles, tubes guides, grilles de maintien des assemblages 17 × 17 en usage en France ce rapport est proche de 0,66. Si on dispose de la géométrie détaillée du combustible on peut aisément recalculer le facteur, à défaut la valeur de 0,66 donne un ordre de grandeur correct.
 

En remplaçant tous les termes par leur valeur et en divisant numérateur et dénominateur par  , il vient :

 

On peut observer que f varie en fonction de l'enrichissement et de la modération.

Simplifications

Après division haut et bas par  , il vient :

  avec
 

On pose, comme dans le cas du facteur η :

 
 
termes sans dimension qui ne dépendent que des caractéristiques physiques des corps présents et non de l'enrichissement   ou de la modération  .
 
Formule simple
 

 
  • avec :
 
 
 
  • Applicable pour
 
 

Numériquement :(cf. tableau en fin d'article)

  • Termes de la formule simplifiée donnant f :
 
 
 
 
  • Résultat:
Pour un enrichissement moyen typique de 2,283 % en masse soit 2,312 % en noyaux
un rapport de modération atomique moyen Rm typique de 4,338,
f ≈ 0,9216[Note 3]

Évaluation simplifiée du facteur pModifier

 

 

Liminaires

La relation générale se simplifie un peu en considérant qu'un seul groupe de noyaux capturant : l'uranium 238 de concentration  , ce qui est le cas dans un cœur neuf ne contenant pas de plutonium.

  = Intégrale effective de capture résonnante en ralentissement de l'uranium 238
 
  •   exprime la balance entre deux termes :
Le numérateur, uniquement dépendant de   est une fonction croissante de   ; plus il y a d'atomes d'uranium 238 plus il y a de captures en ralentissement des neutrons.
Le dénominateur, uniquement dépendant de  , est une fonction croissante de   ; plus il y a d'atomes d'hydrogène moins il y a de chances pour qu'un neutron soit capturé avant qu'il soit thermalisé.

La modélisation de la modération via le terme   préférentiellement à   rend indépendantes les variables   et  . Ainsi dans le cas typique d'une variation d'enrichissement à rapport volumique de modération constant, façon pratique de réaliser les choses en réacteur à eau, le nombre d'atomes d'uranium total n'est pas changé et le terme   reste constant.

Corrélations

On peut alors appliquer les deux relations empiriques suivantes[Référence 1],[Référence 2] :

  •  [Note 3], avec :
  en at/cm3, et,
  en barn
Cette relation rend compte au mieux des corrélations disponibles dans la littérature technique (cf. documents référencés ci-après) dans une large gamme de concentrations en uranium 238.
  •  [Note 3], avec
  sans dimension et
  en cm−1
Cette corrélation rend compte de l'évolution de   en fonction de  , elle est cohérente avec l'ordre de grandeur des coefficients de température modérateur observés en fonctionnement et la valeur relative de l'optimum de modération par rapport aux conditions nominales de fonctionnement. (Ces valeurs sont fortement dépendantes de l'enrichissement du combustible)

Simplifications; on pose:

 ,
avec    et  
Formule simple
  •   
  •  ,
avec  ,   et  
  • avec:
  en at/cm3
 ,   et   sans dim
  • Applicable pour
 
 
 

Numériquement:(cf. tableau en fin d'article)

Pour un enrichissement moyen typique de 2,362 % en noyaux, un rapport de modération atomique moyen typique de 4,352
  ≈ 0,75[Note 3]
Remarque
Le facteur p est celui qui présente l'incertitude maximale dans ce modèle simplifié.

Évaluation simplifiée du facteur εModifier

 

Le facteur   s'estime à partir de la formule générale :

 

avec :

  •   = Probabilité qu'un neutron thermique capturé dans le combustible fissile en neutrons thermiques génère une fission
  •   (U 235 est seul fissile en neutrons thermiques)
  •   = Probabilité qu'un neutron rapide capturé dans le combustible fissile en neutrons rapides génère une fission.
  •  (U 235 et 238 sont fissiles en neutrons rapides)
  •   = Facteur d'utilisation rapide = Probabilité qu'un neutron rapide soit capturé dans le combustible fissile en neutrons rapides plutôt que dans un autre atome.
  •  
  •   = Probabilité de non-fuite au niveau thermique
Remarques liminaires

Dans le cas d'un réacteur thermique, le facteur ε est un terme correctif exprimant la part de fissions rapides. ε est donc une fonction décroissante de la modération (à l'équilibre de remplacement des générations de neutrons (k effectif = 1) plus le cœur est modéré moins la contribution des fissions rapides est importante pour réaliser l'équilibre).

L'uranium 235, certes préférentiellement fissile en neutrons thermiques, l'est également en neutrons rapides et même il l'est davantage que l'uranium 238 (section efficace en gros 1,5 à 2 fois plus élevée). À priori une augmentation de l'enrichissement doit conduire à une augmentation de ε, ce qui est cohérent avec la proposition ci-dessus puisqu'une augmentation de l'enrichissement implique une diminution de la modération. Cet effet doit cependant rester modéré.

Le terme   qui doit rester de l'ordre de 0,3 à 0,5 constitue une preuve par neuf de cohérence de l'évaluation des facteurs  ,  ,  .

  et   sont déterminés par les relations données ci-dessus.

On note   le terme  

La relation empirique suivante donne α en fonction de la modération ce qui permet d'estimer ε connaissant les deux autres facteurs p et f.

Formule simple
  •  
  •  
    •  ,   et   sans dim
    • Applicable pour:
 
 
 
Remarques

La formule simple ci-dessus est potentiellement améliorable aux faibles et très fortes valeurs de  .

La prise en compte dans le modèle simplifié du rapport   qui vaut grossièrement   est bien sûr aisément possible. De facto, ce rapport qui n'est qu'une proportionnalité se trouve inclus dans le terme α.

Il pourra être recherché un éventuel terme correctif de la valeur de α en fonction de l'enrichissement du cœur.

Numériquement: (cf. tableau en fin d'article)

Pour un rapport de modération atomique moyen typique de 4,338
α ≈ 0,1081
Connaissant f ≈ 0,9216 et p ≈ 0,7572
 
ε ≈ 1,038

Évolution de   et   en fonction des paramètres principaux du cœurModifier

L'appréciation d'une modification de la constitution du réacteur sur la réactivité du cœur s'effectue en appréciant son impact sur chacun des 4 facteurs. Ceci peut être fait en utilisant les formules simplifiées.

Effet d'une variation de l'enrichissement sur les valeurs de   et  Modifier

 
Évolution de   en fonction de l'enrichissement du cœur

  varie fortement avec l'enrichissement du cœur, tous les facteurs sont concernés, toutefois les facteurs f et η sont principalement impactés.

Évolution qualitative des quatre facteurs avec l'enrichissement

La courbe jointe donne par application des formules simplifiées ci-dessus l'évolution de   en fonction de l'enrichissement du cœur entre une teneur entre l'enrichissement naturel (0,7202 % en noyaux) et la valeur maximale pratique des usines d'enrichissement.

  •   augmente fortement avec l'enrichissement et rejoint une valeur maximale asymptotique pour 100 % d'enrichissement égale à   de l'ordre de 2,07 . (cf. tableau en fin d'article).
  est le facteur prépondérant vis-à-vis de l'enrichissement
  •   augmente avec l'enrichissement et rejoint une valeur maximale asymptotique très proche de 1 (comprise entre 0,98 et 1) pour 100 % d'enrichissement.
  •   augmente faiblement avec l'enrichissement
  •   diminue faiblement avec l'enrichissement

En résumé:

  • le produit   varie et augmente avec l'enrichissement
  • le produit   ne varie que très faiblement avec l'enrichissement

Aux fortes valeurs d'enrichissement (hors plage d'applicabilité des formules simplifiées) on observe:

  • un plafonnement de l'augmentation différentielle de réactivité vers 20 % d'enrichissement (valeur limite des réacteurs expérimentaux)
  • une augmentation linéaire de   jusqu'à atteindre la valeur asymptotique à 100 % d'enrichissement.
Valeur en pcm (pour cent mille) de 1 % d'enrichissement

Une augmentation (resp. diminution) d'enrichissement massique de 1 % en valeur absolue géométriquement centrée autour de la teneur de 2,433 % massique (soit de 1,984 % à 2,984 % en masse et de 2,009 % à 3,021 % en noyaux) se traduit par une augmentation (resp. diminution) relative de 8,143 (%/%) de la valeur de  . L'augmentation (resp. diminution) de réactivité correspondante est égale à :

 

Cette valeur est un ordre de grandeur car outre les incertitudes propres au modèle simplifié la valeur « du % d'enrichissement » varie très fortement avec la valeur de l'enrichissement nominal autour duquel se trouve le % en question.

Dérivée de   avec l'enrichissement

L'expression plus complète de la variation de   détaillée dans la boîte déroulante en fonction de l'enrichissement est la relation suivante assez lourde:

 

Applicable pour

 

Le terme   étant petit devant la valeur des enrichissements usuels on voit apparaitre au dénominateur de la dérivée de   l'enrichissement du cœur au carré. Plus l'enrichissement augmente moins le gain relatif en réactivité est important, en revanche la masse de matière fissile est augmentée ce qui reste favorable du point de vue de l'énergie extractible du cœur.

Grandeurs invariantes avec l'enrichissement

Les grandeurs suivantes sont invariantes avec l'enrichissement du cœur (valeurs numériques données dans le tableau en fin d'article).

  • Volume du cœur
  • Volume d'oxyde d'uranium
  • Nombre de moles d'uranium dans le cœur
  • Concentration volumique des atomes d'uranium
  • Volume d'eau primaire dans le cœur
  • Température moyenne de l'eau primaire dans le cœur
  • Masse volumique de l'eau aux conditions nominales
  • Masse d'eau primaire
  • Concentration des atomes d'hydrogène
  • Rapport molaire de modération

Dans la variation d'enrichissement le nombre total d'atomes d'uranium reste constant, en revanche la masse d'uranium change. Dans le réseau cristallin de l'oxyde d'uranium les atomes d'uranium 238 sont remplacés par des atomes d'uranium 235 en cas d'augmentation de l'enrichissement (et inversement en cas de diminution de l'enrichissement).

L'invariance du nombre d'atomes d'uranium dans la variation d'enrichissement assure complètement l'indépendance des deux variables   et  

Évolution de   avec la modération - Optimum de modération - Coefficient de température modérateur - Condition de stabilité - Reprise froid chaudModifier

Les relations simplificatrices données ci-dessus permettent de fournir une description qualitative de la variation de   avec la modération à enrichissement donné du cœur, et notamment les points suivant qui sont déterminant de la conception du cœur :

  • Optimum de modération et condition de stabilité;
  • Coefficient de température du modérateur et reprise froid-chaud.
Optimum de modération et condition de stabilité du cœurModifier
 
Évolution des facteurs en fonction de la modération du cœur. Le facteur η qui varie peu avec la modération n'est pas figuré
Remarque liminaire - Éléments qualitatifs

L'expression générale de   est lourde elle se simplifie toutefois légèrement :

  .On remplace ε par sa valeur
 
 
  est indépendant au 1er ordre de la modération (cf. ci-dessus facteur η)
  est petit ( α = 0,125 pour Rm = 1,5 et 0,0605 pour Rm = 15 )
  ne dépasse pas ≈ 0,5 pour NU8 = 1,5 × 1022 at/cm3 et Rm = 1,5 ; donc le produit   est petit devant   , on le néglige dans la recherche du maximum de  
Ces hypothèses reviennent de facto à considérer que   et   sont invariants avec la modération, ce qui est correctement vérifié avec toutefois une incertitude 0,2 unité de  

Ainsi donc au 1er ordre :

  est croissant avec  
  est décroissant avec  ,
  présente un maximum en fonction de  , pour le couple   tel que :
 
Recherche graphique de l'optimum de modération

Le produit   présente un maximum pour   voisin de 8 ce qui rend compte de l'effet de maximum.Q

Recherche analytique de l'optimum de modération

Il est possible de trouver une formulation analytique de l'optimum de modération en fonction des différents paramètres ce qui peut permettre une étude paramétrique simple.   est donné par la relation [Note 7]

 

avec  ; valeur estimée du maximum de modération proche de  

Ceci permet de retrouver quelques éléments de tendance importants :

L'optimum de modération augmente avec l'enrichissement:

Une augmentation (resp. diminution) de 1 % de l'enrichissement autour du point moyen de 2,433 % en masse, augmente (resp.diminue ) le rapport   d'environ 10 %. Plus le cœur est enrichi plus il est « naturellement » stable, plus il est facile de le rendre auto-stable.

Dans la plage des enrichissements équivalents en usage sur les REP électrogènes donc entre 1,5 et 3,5 % d'enrichissement les ordres de grandeurs usuels sont restitués par le modèle simple.

La plage des faibles enrichissements conduit comme cela est normale à des configurations instables:

Un cœur enrichi à moins de 1,27 % en noyaux est stable à chaud mais ne vérifie pas la condition de stabilité à froid.
1,12 % apparaît comme la limite inférieure d'enrichissement autorisant la divergence à chaud avec une marge d'exploitation suffisante (  > 1,05 ). Mais ceci n 'est réalisé que pour un rapport de modération proche de l'optimum, donc dans une configuration non stable.

La plage des forts enrichissements apparait correctement modélisée; la marge en réactivité importante est utilisable pour décrire le contrôle à l'acide borique.

Ces constats recoupent les dispositions prises sur les RBMK après l'accident de Tchernobyl où une augmentation de l'enrichissement utilisé a permis de rendre stable le cœur qui ne l'était pas antérieurement

Condition de stabilité du cœur

Le cœur est stable si  . En effet toute augmentation de température du cœur provoque une diminution de   par dilatation de l'eau contenue dans le cœur.

Ceci conduit à la relation:

 

Cette inégalité doit être vérifiée sur toute la plage de fonctionnement du réacteur :

  • à chaud conditions nominales
 
 
  • à froid
 
 
  • durant toute l'exploitation donc avec une consommation de matière fissile équivalent au 1er ordre à une réduction de l'enrichissement.

Plus l'enrichissement du cœur est élevé plus la condition de stabilité est aisée à satisfaire. Parmi les modifications apportées aux RBMK pour les rendre stables en toutes circonstances une a consisté à augmenter l'enrichissement du cœur.

Coefficient de température modérateur - Reprise de réactivité "froid-chaud"Modifier
Coefficient modérateur

La modélisation de la variation de   en fonction de   permet d'apprécier le coefficient de réactivité de température du modérateur dont l'importance est déterminante pour le fonctionnement puisqu'il autorise l'auto-stabilité du réacteur à eau pressurisée.

La valeur trouvée avec le modèle simplifié est de - 37,8 pcm/°C.

Reprise froid/chaud

Le réchauffage du réacteur à puissance nulle à partir des conditions d'arrêt froid est consommateur de réactivité. On peut en donner une appréciation à l'aide des formules simples.

  • Valeurs influant sur la réactivité à chaud:
 
 
  • Valeurs influant sur la réactivité à froid:
 
 
 
Modération - Aspect pratique
 
Courbe donnant l'allure de l'évolution du rapport de modération atomique.

À la conception du cœur il est possible de choisir le rapport de modération c'est-à-dire le rapport entre la concentration volumique des atomes modérateurs et la concentration volumique des atomes fissiles. Par exemple de façon pratique dans le cas des réacteurs à eau pressurisée en faisant varier le pas régulier de disposition des crayons combustibles :

  • Si les crayons sont très rapprochés les uns des autres la quantité de modérateur offerte aux neutrons pour être ralentis est insuffisante et le rapport de multiplication en réseau infini   diminue.
  • Si les crayons sont très éloignés les uns des autres la probabilité qu'un neutron émis dans le combustible et thermalisé dans le modérateur rencontre un autre atome fissile diminue et le rapport de multiplication en réseau infini   diminue.
  • Entre les deux situations ci-dessus, il s'en trouve une ou le rapport : nombre d'atomes modérateurs / nombre d'atomes fissiles conduit au maximum de   ; c'est l'optimum de modération.

Le dessin du réseau combustible détermine au 1er ordre le rapport atomique (ou molaire de modération). La généralisation des assemblages 17 × 17 ou 15 × 15 pour raison industrielle en usage sur les REP électrogènes encadre ainsi la plage de modération accessible dans la plage où les conditions générales de stabilité du cœur sont satisfaites avec de bonnes marges permettant l'optimisation du cycle du combustible.

Comparaison avec les réacteurs d'OkloModifier

Il pourra être tiré du résultat ci-dessus quelques conclusions simples sur les réacteurs de la mine d'Oklo et de Bangombé au Gabon qui présentent un certain nombre de points communs avec les REP électrogènes de puissance. En effet, si on compare le réseau combustible d'un REP 900 MWe à celui des réacteurs de la mine d'Oklo :

  • le combustible est de l'oxyde d'uranium dans les deux cas
  • le modérateur est de l'eau légère dans les deux cas
  • le réacteur REP tel que calculé ci-dessus est chaud, il est sous modéré dans ces conditions
  • le réacteur REP est à l'optimum de modération à froid (20 °C)[Note 8]
  • le rapport atomique (ou molaire) optimal de modération à froid du REP 900 MWe (= rapport des concentrations en hydrogène et uranium 235) vaut sensiblement = 228,6 ; les conditions de criticité dans le cas de Oklo sont évaluées avec la même valeur.
  • la valeur de   est égale à   en retenant une reprise froid chaud de 5 000 pcm
  • le facteur supplémentaire d'optimum de modération (reprise froid/chaud = 1,051 27) est supposé influer sur le facteur f en ce qui concerne la capture dans l'uranium 238 dont la section efficace microscopique de capture est prise moins élevée qu'à chaud jusqu'à obtenir la valeur de f souhaitée (environ 1,1353 contre 2,72 barn)[Note 9]
  • le réacteur d'Oklo diverge à minima à froid   à l'optimum de modération [Note 10]
  • la gangue du minerai d'Oklo se compare au zirconium du REP 900 [Note 11], en tous les cas on peut admettre que la section efficace macroscopique correspondante ne peut être inférieure à celle du zirconium du REP 900 soit 0,000 863 5 cm−1
  • la valeur du facteur antitrappe est inchangée
  • la valeur du facteur ε est inchangée ; il pourrait toutefois être tenu compte de ce que le facteur ε est grossièrement proportionnel à la proportion d'uranium 238 laquelle est un peu plus élevée dans le REP 900 MWe qu'à Oklo
  • l'enrichissement moyen du REP 900 MWe vaut 2,433 % (en noyaux = 2,464 %) ; l'enrichissement du 1er réacteur d'Oklo qui a fonctionné il y a près de 1,95 milliard d'années est pris égal à 3,61 % en masse (en noyaux = 3,66 %)
  • en effectuant le calcul des 4 facteurs par la méthode simple donnée dans la boite déroulante, la concentration en uranium 235 qui rend critique à froid (  )à l'optimum de modération le réacteur d'Oklo est trouvée égale à 2,474 × 1018 at/cm3 (soit une concentration environ 100 fois moindre que celle du REP 900 MWe)
  • la teneur en uranium du minerai de densité égale à 2,5 correspondante est proche de 10,7 kg d'uranium par tonne de minerai ce qui est élevé mais rencontré dans les gisements en exploitation dans le monde
  • la concentration en atomes d'hydrogène est prise égale à celle de l'optimum de modération = 5,656 × 1020 at/cm3 ; elle correspond à une teneur massique en eau du minerai de 3,38 kg/tonne ce qui semble réaliste
  • à simplement remarquer que les évaluations faites du fonctionnement des réacteurs d'Oklo conduisent bien entendu à une contribution du plutonium 239 formé mais la période est très faible devant la durée totale du fonctionnement des réacteurs
Grandeur physique REP 900 à 304,5 °C REP 900 à 20 °C Oklo Unité Commentaire
Coefficient   1,356 1,425 1 sans dim Valeur minimale à Oklo
Rapport de modération atomique 164,1 228,6 228,6 sans dim Valeur minimale à Oklo
Enrichissement en noyau en U5 2,464 % 2,464 % 3,6584 % at/cm3 Valeur estimée à Oklo il y a 1,95 milliard d'années
Concentration des atomes d'U5 1,698 × 1020 1,698 × 1020 2,474 × 1018 at/cm3 Valeur minimale à Oklo
Concentration des atomes d'H 2,786 × 1022 3,881 × 1022 5,656 × 1020 at/cm3 Valeur pouvant varier quelque peu à Oklo
Section efficace de capture dans l'U8 2,72 1,1353 1,1353 barn Moins élevé à froid
Coefficient ε = facteur correctif de fissions rapides 1,07 1,07 1,0565 sans dim Moins élevé à Oklo du fait de l'enrichissement plus élevé
Coefficient η = neutrons de fission 2,105 2,105 2,105 sans dim Ne dépend que du seul atome fissile = uranium 235
Coefficient p = facteur antitrappe 0,75 0,75 0,75 sans dim Modérateur identique
Coefficient f = utilisation thermique 0,8025 0,8437 0,5992 sans dim
Section efficace macroscopique des gaines ou gangue 0,000 863 5 0,000 863 5 0,000 863 5 cm−1 Valeur minimale à Oklo
Densité moyenne du minerai 2,5 sans dim Valeur classique
Teneur massique en uranium du minerai 10,69 kg/t Valeur minimale à Oklo pour diverger [Note 12]
Teneur massique en eau du minerai 3,38 kg/t Valeur ayant fluctué à Oklo
Puissance thermique 104,2 × 106 100 W/m3 Valeur ayant largement fluctué à Oklo
Durée de fonctionnement 1 500 000 ans En moyenne

Réactivité d'un milieu limitéModifier

Le facteur de multiplication effectif (noté  ) est évalué en prenant en compte le fait que la zone réactive est d'extension finie, et qu'une partie des neutrons sont perdus par effet de fuite. La proportion de neutrons qui fuient dépend de la taille et de la forme du milieu considéré.

Le rapport entre   et   vaut  

où :

  •   est le coefficient de multiplication en milieu infini des neutrons
  •   est l’aire de migration des neutrons
  •   est le laplacien géométrique des neutrons.

À titre d'exemple, pour un cœur de géométrie cylindrique,   est donné par la relation suivante :