Quadrature du cercle de Tarski

En mathématiques, et plus précisément en géométrie plane, le problème de quadrature du cercle de Tarski, posé par Alfred Tarski en 1925, consiste à déterminer s'il est possible de découper un disque du plan en un nombre fini de morceaux et de les réassembler pour obtenir un carré d'aire égale.

Il est impossible de réaliser une telle dissection formée de pièces qui pourraient être découpées avec des ciseaux (idéaux), c'est-à-dire dont la frontière serait une courbe de Jordan : il a été démontré en 1963 qu'un disque ne pouvait être transformé en aucune autre surface convexe par découpage aux ciseaux .

En 1990, Miklós Laczkovich montra que c'était possible si ces morceaux sont non mesurables; la décomposition utilise l'axiome du choix et est donc non-constructive, de plus la décomposition de Laczkovich nécessite environ 10⁵⁰ ensembles distincts.

Laczkovich montra d'autre part que la recomposition peut être faite en n'utilisant que des translations ; les rotations des pièces ne sont pas nécessaires. Au passage, il montra également que n'importe quel polygone du plan peut être décomposé de même en pièces réarrangeables par des translations seules pour former un carré de même aire. Le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien est un résultat analogue beaucoup plus simple, affirmant que cette dissection peut être réalisée avec des morceaux de forme polygonale, si on autorise également la rotation des pièces lors de la recomposition.

Il résulte des travaux de T. Wilson (Wilson 2005) qu'il est même possible de choisir les pièces de telle sorte qu'elles ne se rencontrent pas au cours de ces translations, considérées comme des mouvements continus.

Ces résultats doivent être comparés aux décompositions bien plus paradoxales fournies dans l'espace par le paradoxe de Banach-Tarski : ces dernières peuvent même modifier le volume de l'ensemble initial. De telles décompositions sont impossibles dans le plan, en raison de l'existence dans R² d'une mesure de Banach, c'est-à-dire d'une fonction simplement additive et invariante par translation, définie sur tous les sous-ensembles.

Voir aussi

• Quadrature du cercle, un des trois grands problèmes de l'Antiquité, réclamant de construire, pour un cercle donné, un carré de même aire avec la règle et le compas seuls ; comme les deux autres, ce problème a été démontré impossible, essentiellement à la suite des travaux de Wantzel et Lindemann.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tarski's circle-squaring problem » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eike Hertel et Christian Richter, « Squaring the circle by dissection », Beiträge zur Algebra und Geometrie, vol. 44, n^o 1,‎ 2003, p. 47-55 (MR 1990983, lire en ligne).
• (en) Miklós Laczkovich, « Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem », J. Reine Angew. Math., vol. 404,‎ 1990, p. 77-117 (DOI 10.1515/crll.1990.404.77, MR 1037431).
• (en) Miklós Laczkovich, « Paradoxical decompositions: a survey of recent results », dans Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992)), Bâle, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 120), 1994 (MR 1341843), p. 159-184.
• Alfred Tarski, « Problème 38 », Fundam. Math., vol. 7,‎ 1925, p. 381.
• (en) Trevor M. Wilson, « A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem », J. Symb. Logic, vol. 70, n^o 3,‎ 2005, p. 946-952 (DOI 10.2178/jsl/1122038921, MR 2155273).