Polynômes orthogonaux multiples

Les polynômes orthogonaux multiples (POM) sont des polynômes orthogonaux dans une variable qui satisfait le critère d'orthogonalité par rapport à une famille finie de mesures $\mu _{1},\dots ,\mu _{r}$. Ils ne doivent pas être confondus avec les polynômes orthogonaux à plusieurs variables, les polynômes orthogonaux multivariables. Les polynômes sont divisés en deux classes appelées type 1 et type 2.

Dans la littérature, les polynômes orthogonaux multiples sont également appelés $d$-polynômes orthogonaux, polynômes de Hermite-Padé ou polynômes polyorthogonaux.

Polynômes orthogonaux multiples

Soit ${\vec {n}}=(n_{1},\dots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ un multi-indice et $\mu _{1},\dots ,\mu _{r}$ sont measures positives aux nombres réels. Comme d'habitude, $|{\vec {n}}|:=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}$.

POM de type 1

Les polynômes de type 1 sont notés comme $A_{{\vec {n}},j}$ pour $j=1,2,\dots ,r$ et écrits comme a vecteur $(A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r})$, où le $j$ème polynôme $A_{{\vec {n}},j}$ peut être au plus de degré $n_{j}-1$. De plus, ils doivent vérifier :

$\sum _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{k}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,|{\vec {n}}|-2,$

et

$\sum _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{|{\vec {n}}|-1}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=1.$

On a donc un système d'équations $|{\vec {n}}|$ pour les $|{\vec {n}}|$ coefficients des polynômes $A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r}$ défini.

POM de type 2

Un polynôme $P_{\vec {n}}(x)$ est de type 2 s'il est monique et de degré $|{\vec {n}}|$ et le critère d'orthogonalité suivant est rempli :

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{j}-1,\qquad j=1,\dots ,r.$

Remarques

Si on écrit toutes les équations $j=1,\dots ,r$, on obtient la définition suivante du POM de type 2

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{1}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{1}-1$

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{2}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{2}-1$

$\vdots$

$\int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{r}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{r}-1$

Bibliographie

• (en) Mourad E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005 (ISBN 9781107325982), chap. 23.
• (en) Andrei Martinez-Finkelshtein et Walter Van Assche, WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial, vol. 63, 2016, p. 1029-1031.
• (en) Walter Van Assche et Els Coussement, Some classical multiple orthogonal polynomials, vol. 127, Elsevier, 2001 (DOI 10.1016/s0377-0427(00)00503-3), chap. 1-2, p. 317-347.