En analyse , un polynôme osculateur ou osculatoire est un polynôme fournissant une « bonne approximation » d'une fonction.
Approximations polynomiales du logarithme népérien en 1 de degrés 1, 2, 3 et 10.
Approximations polynomiales de la fonction sinus en 0 de degrés 1, 3, 5 et 7.
Considérons ƒ une fonction réelle n fois dérivable en un point x 0 . Le polynôme p est dit osculatoire si
∀
i
∈
0
,
.
.
.
,
n
,
p
(
i
)
(
x
0
)
=
f
(
i
)
(
x
0
)
{\displaystyle \forall i\in 0,...,n,p^{(i)}(x_{0})=f^{(i)}(x_{0})}
En particulier, pour n = 2, on constate donc que le polynôme est tangent et a la même courbure que ƒ en x 0 .
Le polynôme osculateur de degré minimal est donc son polynôme de Taylor :
p
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
f
(
i
)
(
x
0
)
i
!
(
x
−
x
0
)
i
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
1
!
(
x
−
x
0
)
+
f
(
2
)
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}\,(x-x_{0})+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}\,(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}\,(x-x_{0})^{n}}
Cependant, pour tout polynôme Q , tout polynôme de la forme
p
1
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
f
(
i
)
(
x
0
)
i
!
(
x
−
x
0
)
i
+
(
x
−
x
0
)
n
+
1
Q
(
x
)
{\displaystyle p_{1}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}+(x-x_{0})^{n+1}Q(x)}
est également osculateur.
Un polynôme osculateur peut remplacer localement une fonction ƒ. Cela permet d'avoir une fonction plus facile à manipuler.