Polynôme de Dickson

Les polynômes de Dickson (ou polynômes de Brewer), introduits par le mathématicien américain Leonard Eugene Dickson en 1897 et redécouverts par B. W. Brewer en 1960 (dans son étude des sommes de Brewer (en)), sont deux suites de polynômes $(D_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(E_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ (appelées respectivement polynômes de Dickson de première et de deuxième espèce), définies sous la forme de fonctions polynomiales de deux variables complexes $a$ et $x$, par :

$D_{0}(x,a)=2\quad D_{1}(x,a)=x\quad E_{0}(x,a)=1\quad E_{1}(x,a)=x$,

et par la relation de récurrence vérifiée par les deux suites, pour tout entier $n\in \mathbb {N}$ :

$P_{n+2}(x,a)=xP_{n+1}(x,a)-aP_{n}(x,a)$.

Ils sont particulièrement liés aux polynômes de Tchebychev.

Définition

Les premiers polynômes de Dickson de première et de deuxième espèce, calculés grâce à la relation de récurrence ci-dessus, valent :

${\begin{array}{l l}D_{0}(x,a)=2&E_{0}(x,a)=1\\D_{1}(x,a)=x&E_{1}(x,a)=x\\D_{2}(x,a)=x^{2}-2a&E_{2}(x,a)=x^{2}-a\\D_{3}(x,a)=x^{3}-3ax&E_{3}(x,a)=x^{3}-2ax\\D_{4}(x,a)=x^{4}-4ax^{2}+2a^{2}&E_{4}(x,a)=x^{4}-3ax^{2}+a^{2}\\D_{5}(x,a)=x^{5}-5ax^{3}+5a^{2}x&E_{5}(x,a)=x^{5}-4ax^{3}-3a^{2}x\end{array}}$

On peut alors prouver qu'ils vérifient les relations générales :

$D_{n}(x,a)=\sum \limits _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}(-a)^{k}x^{n-2k}\quad {\text{et}}\quad E_{n}(x,a)=\sum \limits _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}(-a)^{k}x^{n-2k}$,

où $\lfloor \cdot \rfloor$ est la fonction partie entière.

Propriétés

Les suites de polynômes vérifient, pour tout $(x,a)\in \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C}$ et pour tout $n\in \mathbb {N}$ :

$D_{n}\left(x+{\frac {a}{x}},a\right)=x^{n}+{\frac {a^{n}}{x^{n}}}\quad {\text{et}}\quad \left(x-{\frac {a}{x}}\right)E_{n}\left(x+{\frac {a}{x}},a\right)=x^{n+1}-{\frac {a^{n+1}}{x^{n+1}}}$.

D'autre part, les polynômes de Dickson de première espèce vérifient la relation, pour $(m,n)\in \mathbb {N} ^{2}$ :

$D_{mn}(x,a)=D_{m}{\big (}D_{n}(x,a),a^{n}{\big )}$.

Les polynômes $D_{n}(x,a)$ et $E_{n}(x,a)$ sont respectivement solutions des deux équations différentielles :

$(x^{2}-4a)y''+xy'-n^{2}y=0\quad {\text{et}}\quad (x^{2}-4a)y''+3xy'-n(n+2)y=0$

Les séries génératrices des deux suites de polynômes valent :

$\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }D_{n}(x,a)z^{n}={\frac {2-xz}{1-xz+az^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \sum \limits _{n\in \mathbb {N} }E_{n}(x,a)z^{n}={\frac {1}{1-xz+az^{2}}}$.

Liens avec d'autres polynômes

Les polynômes de Dickson sont liés aux polynômes de Tchebychev de première et de deuxième espèce $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ par les relations :

$\forall (x,a)\in \mathbb {C} ^{2},\quad D_{n}(2ax,a^{2})=2a^{n}T_{n}(x)\quad {\text{et}}\quad E_{n}(2ax,a^{2})=a^{n}U_{n}(x)$.

D'autre part :

• les polynômes de Dickson de paramètre $a=0$ sont des monômes : $D_{n}(x,0)=x^{n}$ ;
• les polynômes de Dickson de paramètre $a=1$ et $a=-1$ sont liés aux polynômes de Fibonacci et de Lucas.