Polydisque

Dans la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes, une branche des mathématiques, un polydisque est un produit cartésien de disques.

Plus précisément, si l'on désigne par $D(z,r)$ le disque ouvert de centre z et de rayon r dans le plan complexe, alors un polydisque ouvert est un ensemble de la forme

$D(z_{1},r_{1})\times \dots \times D(z_{n},r_{n}).$

Il peut être écrit de manière équivalente comme

$\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}:\vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},{\mbox{ for all }}k=1,\dots ,n\}.$

Il ne faut pas confondre le polydisque avec la boule ouverte dans C ⁿ, qui est définie comme

$\{w\in \mathbf {C} ^{n}:\lVert z-w\rVert <r\}.$

Ici, la norme est la distance euclidienne dans C ⁿ .

Pour $n>1$, les boules ouvertes et les polydisques ouverts ne sont pas biholomorphiquement équivalents, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de cartographie biholomorphe entre les deux. Ce résultat a été prouvé par Poincaré en 1907 en montrant que leurs groupes d'automorphismes ont des dimensions différentes de celles des groupes de Lie.

Lorsque $n=2$ le terme bidisque est parfois utilisé.

Le polydisque est un exemple de domaine de Reinhardt logarithmiquement convexe.

Références

• Steven G Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 1^er janvier 2002 (ISBN 0-8218-2724-3)
• John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo, Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces, CRC Press, 6 janvier 1993 (ISBN 0-8493-8272-6)

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