Petit groupe

En relativité, on appelle petit groupe le sous-groupe des transformations de Lorentz ${\Lambda ^{\alpha }}_{\beta }$ dont les éléments laissent invariant une quadri-impulsion $p^{\alpha }$ donnée. Si ${W^{\alpha }}_{\beta }$ est un membre de ce groupe, on a donc :

$p^{\alpha }={W^{\alpha }}_{\beta }p^{\beta }$

Structure du petit groupe (cas particulier)

(Nous adoptons ici comme métrique lorentzienne $\eta _{\mu \nu }$ de signature $(+,-,-,-)$, ainsi que le système d'unités « naturelles » où $\hbar =c=1$)

Considérons, par exemple, une particule matérielle de quadri-impulsion $p^{\alpha }\neq 0$. Il existe alors un référentiel lorentzien dans lequel cette particule est au repos ; on peut donc y écrire : $p^{\alpha }={}^{t}(M,0,0,0)$.

Tout élément du petit groupe correspondant doit donc vérifier : $p^{\alpha }={W^{\alpha }}_{\beta }p^{\beta }$. Donc, en particulier : $p^{0}={W^{0}}_{0}p^{0}(+0+0+0)$, c'est-à-dire ${W^{0}}_{0}=1$.

Pour toutes les autres composantes $p^{i}=0$, nous avons : $p^{i}=0={W^{i}}_{\alpha }p^{\alpha }$, donc ${W^{i}}_{0}=0$.

Considérons maintenant, conformément à la méthode générale sur les groupes de Lie, une transformation du petit groupe ${W^{\alpha }}_{\beta }$ arbitrairement proche de l'identité, de sorte que l'on puisse écrire, au premier ordre :

${W^{\alpha }}_{\beta }={\delta ^{\alpha }}_{\beta }+{\omega ^{\alpha }}_{\beta }$

où ${\omega ^{\alpha }}_{\beta }$ est une transformation infinitésimale. Puisque ${W^{\alpha }}_{\beta }$ est une transformation de Lorentz, elle doit vérifier :

$\eta _{\nu \mu }={W^{\alpha }}_{\nu }{W^{\beta }}_{\mu }\eta _{\alpha \beta }$

Ceci donne, en remplaçant ${W^{\alpha }}_{\nu }$ et ${W^{\beta }}_{\mu }$ par leurs développements correspondants :

$\eta _{\nu \mu }=({\delta ^{\alpha }}_{\nu }+{\omega ^{\alpha }}_{\nu })({\delta ^{\beta }}_{\mu }+{\omega ^{\beta }}_{\mu })\eta _{\alpha \beta }=({\delta ^{\alpha }}_{\nu }{\delta ^{\beta }}_{\mu }+{\delta ^{\alpha }}_{\nu }{\omega ^{\beta }}_{\mu }+{\delta ^{\beta }}_{\mu }{\omega ^{\alpha }}_{\nu }+...)\eta _{\alpha \beta }$

$={\delta ^{\alpha }}_{\nu }{\delta ^{\beta }}_{\mu }\eta _{\alpha \beta }+{\delta ^{\alpha }}_{\nu }{\omega ^{\beta }}_{\mu }\eta _{\alpha \beta }+{\delta ^{\beta }}_{\mu }{\omega ^{\alpha }}_{\nu }\eta _{\alpha \beta }=\eta _{\nu \mu }+{\delta ^{\alpha }}_{\nu }\omega _{\alpha \mu }+{\delta ^{\beta }}_{\mu }\omega _{\beta \nu }=\eta _{\nu \mu }+\omega _{\nu \mu }+\omega _{\mu \nu }$

D'où : $\omega _{\nu \mu }+\omega _{\mu \nu }=0$.

La matrice 4x4 $\omega _{\nu \mu }$ est donc antisymétrique, et possède ainsi 6 composantes indépendantes. Avec la condition de nullité des trois composantes ${W^{i}}_{0}=0$, on se retrouve avec 3 composantes indépendantes seulement.

Les matrices infinitésimales $(\omega _{\nu \mu })^{i}$ sont donc engendrées par trois matrices élémentaires de type $\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&\epsilon _{ijk}\end{array}}\right)$. On reconnaît là les trois générateurs du groupe des rotations de R³, $SO(3)$.

Le petit groupe est donc ici le groupe $SO(3)$, un résultat intuitif attendu.

Autres cas

La quadri-impulsion ne peut prendre que deux autres valeurs physiques :

1. Dans le cas d'une "particule de masse nulle au repos" $p^{\alpha }=0$, le petit groupe est évidemment le groupe de Lorentz homogène $SO(3,1)$ ;
2. Dans le cas d'une particule de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la lumière ${\frac {dx}{dt}}=1,p^{\alpha }={}^{t}(1,1,0,0)$, le petit groupe est le groupe $ISO(2)$ des rotations et translations du plan euclidien.