Non-implication réciproque

En logique, la non-implication réciproque est un connecteur logique qui est la négation de la réciproque de l'implication.

Définition

$_{p\not \subset q}\!$, qui est la même que $_{\sim (p\subset q)}\!$

Table de vérité

La table de vérité de $_{p\not \subset q}\!$.

p	q	$_{\not \subset }\!$
V	V	F
V	F	F
F	V	V
F	F	F

Diagramme de Venn

Le diagramme de Venn de « Il n'est pas vrai que B implique A » (la zone rouge est vraie).

Toujours en rapport avec le complémentaire, où le complémentaire de A dans B est notée B ∖ A.

Propriétés

Préservation du faux: L'interprétation sous laquelle toutes les variables sont affectées de la valeur de vérité «faux» produit une valeur de vérité de «faux» à la suite de l'application de la non-implication réciproque.

Symbole

Les alternatives de  $_{p\not \subset q}\!$ sont

• $_{p{\tilde {\leftarrow }}q}\!$: $_{\tilde {\leftarrow }}\!$ combine la flèche gauche de l'implication réciproque ($_{\leftarrow }\!$) avec le tilde de la négation ($_{\sim }\!$).
• $_{Mpq}\!$: utilise la lettre majuscule M préfixé.
• $_{p\nleftarrow q}\!$: $_{\nleftarrow }\!$ combine la flèche gauche de l'implication réciproque ($_{\leftarrow }\!$) nié au moyen d'une barre ($_{/}\!$).

Langage naturel

Rhétorique

« non A mais B »

Algèbre de Boole

La non-implication réciproque dans une algèbre booléenne générale est définie comme $_{q\nleftarrow p=q'p}\!$.

Exemple d'une algèbre booléenne à 2 éléments: les 2 éléments {0,1}, les opérateurs $_{\sim }\!$ comme opérateur complémentaire, $_{_{\vee }}\!$ comme opérateur de jointure et $_{_{\wedge }}\!$ en tant qu'opérateur de rencontre, construisent l'algèbre de Boole de la logique propositionnelle.

$_{\sim x}\!$ $_{1}\!$ $_{0}\!$ $_{x}\!$ $_{0}\!$ $_{1}\!$	et	$_{y}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{0}\!$ $_{0}\!$ $_{1}\!$ $_{y_{\vee }x}\!$ $_{0}\!$ $_{1}\!$ $_{x}\!$	et	$_{y}\!$ $_{1}\!$ $_{0}\!$ $_{1}\!$ $_{0}\!$ $_{0}\!$ $_{0}\!$ $_{y_{\wedge }x}\!$ $_{0}\!$ $_{1}\!$ $_{x}\!$	alors $_{y\nleftarrow x}\!$ signifie	$_{y}\!$ $_{1}\!$ $_{0}\!$ $_{0}\!$ $_{0}\!$ $_{0}\!$ $_{1}\!$ $_{y\nleftarrow x}\!$ $_{0}\!$ $_{1}\!$ $_{x}\!$
(Négation)	(Ou Inclusif)	(Et)	(Non-implication réciproque)

Exemple d'une algèbre booléenne à 4 éléments: les 4 diviseurs {1,2,3,6} de 6 avec 1 nul et 6 en tant qu'élément d'unité, les opérateurs $_{^{c}}\!$ (co-diviseur de 6) comme opérateur complémentaire, $_{_{\vee }}\!$ $_{_{\wedge }}\!$ (plus grand diviseur commun) construisent une algèbre de Boole.

$_{x^{c}}\!$ $_{6}\!$ $_{3}\!$ $_{2}\!$ $_{1}\!$ $_{x}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$	et	$_{y}\!$ $_{6}\!$ $_{6}\!$ $_{6}\!$ $_{6}\!$ $_{6}\!$ $_{3}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$ $_{2}\!$ $_{2}\!$ $_{2}\!$ $_{6}\!$ $_{6}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$ $_{y_{\vee }x}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$ $_{x}\!$	et	$_{y}\!$ $_{6}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$ $_{3}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{3}\!$ $_{3}\!$ $_{2}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{y_{\wedge }x}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$ $_{x}\!$	alors $_{y\nleftarrow x}\!$ signifie	$_{y}\!$ $_{6}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{3}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{2}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{3}\!$ $_{3}\!$ $_{1}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$ $_{y\nleftarrow x}\!$ $_{1}\!$ $_{2}\!$ $_{3}\!$ $_{6}\!$ $_{x}\!$
(Co-diviseur de 6)	(Plus Petit Diviseur Commun)	(Plus Grand Diviseur Commun)	(Plus grand diviseur x premier avec y)

Informatique

Un exemple pour de non-implication réciproque en informatique peut être trouvé lors d'une jointure externe droite sur un ensemble de tables d'une base de données, si les enregistrements ne correspondant pas au-condition de jointure de la table « gauche » sont exclus.

Notes

Références

• (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4A: Combinatorial Algorithms, Part 1, Addison-Wesley Professional, 2011 (ISBN 0-201-03804-8)