Nombre hyperharmonique

En mathématiques, le n-ième nombre hyperharmonique d'ordre $r$, noté $H_{n}^{(r)}$, est défini par les relations de récurrence :

$H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}$, et $H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}\quad (r>0)$.

En particulier, $H_{n}=H_{n}^{(1)}$ est le n-ème nombre harmonique.

Les nombres hyperharmoniques ont été étudiés par JH Conway et RK Guy dans leur livre de 1995 The Book of Numbers.

Identités impliquant des nombres hyperharmoniques

Par définition, les nombres hyperharmoniques vérifient la relation de récurrence

$H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.$

Plutôt que d'utiliser les relations de récurrence, il existe une formule plus efficace pour calculer ces nombres :

$H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).$

Les nombres hyperharmoniques ont une relation étroite avec la combinatoire des permutations. L'identité

$H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].$

se généralise en

$H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},$

où $\left[{n \atop r}\right]_{r}$ est le nombre de r-Stirling de première espèce.

L'expression ci-dessus avec des coefficients binomiaux donne facilement que pour tout ordre fixe $r\geq 2$, on a l'équivalent :

$H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),$

c'est-à-dire que le quotient des côtés gauche et droit tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

Une conséquence immédiate est que

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}<+\infty$

pour $m>r$.

Fonction génératrice et séries infinies

La fonction génératrice des nombres hyperharmoniques est

$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.$

La fonction génératrice exponentielle est beaucoup plus difficile à déduire. On a, pour tout $r=1,2,\dots$

$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mathrm {e} ^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(r-n)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\times _{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),$

où ₂F₂ est une fonction hypergéométrique. Le cas $r=1$ pour les nombres harmoniques est un résultat classique, le résultat général a été prouvé en 2009 par I. Mező et A. Dil.

La relation suivante relie les nombres hyperharmoniques à la fonction zêta de Hurwitz :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).$

Nombres hyperharmoniques entiers

On sait que les nombres harmoniques ne sont jamais des entiers sauf dans le cas $n=1$. La même question peut être posée sur l'existence de nombres hyperharmoniques entiers. István Mező a prouvé que si $r=2$ ou $r=3$, ces nombres ne sont jamais des nombres entiers sauf dans le cas trivial où $n=1$. Il a supposé que c'était toujours le cas, à savoir que les nombres hyperharmoniques d'ordre $r$ ne sont jamais des entiers sauf lorsque $n=1$. Cette conjecture a été justifiée pour une classe de paramètres par R. Amrane et H. Belbachir. Surtout, ces auteurs ont prouvé que $H_{n}^{(4)}$ n'est pas entier pour tout $r<26$ et $n=2,3,\dots$ L'extension aux ordres plus élevés a été réalisée par Göral et Sertbaş. Ces auteurs ont également montré que $H_{n}^{(r)}$ n'est jamais entier lorsque $n$ est pair ou une puissance première, ou lorsque $r$ est impair.

Un autre résultat est le suivant. Soit $S(x)$ le nombre de nombres hyperharmoniques non entiers tels que $(n,x)\in [0,x]\times [0,x]$. Alors, en supposant la conjecture de Cramér,

$S(x)=x^{2}+O(x\log ^{3}x).$

Il faut noter que le nombre entier de points du réseau dans $[0,x]\times [0,x]$ est $x^{2}+O(x^{2})$, ce qui montre que la plupart des nombres hyperharmoniques ne peuvent pas être entiers.

Le problème a finalement été résolu par DC Sertbaş qui a découvert qu'il existe une infinité d'entiers hyperharmoniques, bien qu'ils soient assez grands. Le plus petit nombre hyperharmonique qui est un entier trouvé jusqu'à présent est

$H_{33}^{(64(2^{2659}-1)+32)}.$

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperharmonic number » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Nombre harmonique

Bibliographie

• (en) John Horton Conway et Richard K. Guy, The book of numbers, Copernicus, 1996 (ISBN 978-0-387-97993-9, lire en ligne )