Nombre d'Euclide

En arithmétique, les nombres d'Euclide sont les entiers de la forme $E_{n}=p_{n}\#+1$, où $p_{n}\#=2\times 3\times ...\times p_{n}$ est le n-ième nombre primoriel, c'est-à-dire le produit des $n$ premiers nombres premiers. Ils sont ainsi nommés en référence à la démonstration d'Euclide de l'infinitude des nombres premiers.

Propriété fondamentale

D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, $E_{n}$ est divisible par un nombre premier $p$ qui est forcément strictement supérieur à $p_{n}$ , ce qui prouve que la suite croissante des nombres premiers $(p_{n})$ n'est pas finie.

Cette démonstration est très proche de celle d'Euclide, qui utilise bien un produit de n nombres premiers distincts plus un, mais il n'indique jamais qu'il s'agit du produit des $n$ premiers nombres premiers.

Décomposition des nombres d'Euclide

Les six premiers nombres d'Euclide  : 2, 3, 7, 31, 211, 2 311 sont premiers, et le septième 30 031 = 59 × 509 est composé.

On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres d'Euclide premiers, ni s'il existe une infinité de nombres d'Euclide composés.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euclid number » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

Nombre premier primoriel